25.化简：
sin(???3?)tan(??5?)2
cot（??3?） cos(??)??tan????2?2?cos(??6?)?
26.已知关于x的方程x?sin?1?cot??cos?1?tan?2，求2x?m?0的二根分别为sinθ和cosθ，且θ∈（0，2π）
和m的值.
考点3 和角公式与倍角公式
考点精析
1.能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值.
2.掌握两角和的正弦、余弦公式；了解两角和的正切公式；了解二倍角的正弦、余弦、正切公式.
考题回顾[河南考题] 1.（2008年）设sin????????1，且0＜＜，则cos?等于（ ） ???26?323?1323?13A.
26?16 B.
26?16 C. D.
2.（2007年）已知tan?，tan?是方程2x2?x?6?0的两个根，则tan(???)的值为（ ） A.?12 B.-3 C.-1 D. ?18
解答：D
4.（2006年）证明三角恒等式：tan3??证明：tan3??tan(2???)?2tan?23tan??tan?1?3tan?23
tan2??tan?1?tan2?tan?3
3tan??tan?1?tan??? 22tan?1?3tan?1?tan?21?tan?
备考指导
?tan?一、知识清单
1.两角和的正弦、余弦和正切公式 sin(?+?)=sin?cos?+ cos?sin? cos(?+?)=cos?cos?－sin?sin?
21
tan(?+?)=
tan??tan?1?tan?tan?
2.两角差的正弦、余弦和正切公式 sin(?－?)=sin?cos?－cos?sin? cos(?－?)=cos?cos?+sin?sin? tan(?－?)=
tan??tan?1?tan?tan?
3.二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2a?2sinacosa
cos2a?cosa?sintan2a?2tana1?tan222a?1?2sin2a?2cosa?1
2a
对于以上公式，要从“正用”、“逆用”、“变形用”三个方面全面理解和把握.在上述公式中，要特别留意二倍角的余弦公式的三种形式，并能灵活选用.另外还应注意到公式两边角的2倍关系，如sin4a?2sin2acos2a，sina?2sin形还可得到两个降次公式：cosa?2a2cos2a2，??如果将余弦的倍角公式变
1?cos2a21?cos2a2，sina?
4.和（差）角公式、倍角公式及半角公式之间的联系 cos(?－?)=cos?cos?+sin?sin? cos(?+?)=cos?cos?－sin?sin? 利用公式cos(?2??)?sin?可得
sin(?+?)=sin?cos?+ cos?sin? sin(?－?)=sin?cos?－cos?sin? 令?＝?
sin2a?2sinacosa
cos2a?cosa?sin22a?1?2sin2a?2cosa?1
2二、典型例题
【例1】求下列各式的值
（1）sin15°；（2）cos15°；（3）tan105°. 【解答】（1）sin15°=sin（45°－30°）= sin45°cos30°－cos45°sin30°
22
=
2232?2122?6?42.
（2）cos15°= cos（45°－30°）= cos45°cos30°－sin45°sin30° =
2232?2122?6?42.
（3）tan105°=tan（60°+45°）=
tan60??tan45?1?tan60?tan45?＝3?11?3＝?2?3
【评述】本题考查两角和差公式的正向运用，其中（3）中tan105°的值可考虑先利用诱导公式，再去求值.由tan（90°+15°）＝－cot15°＝【例2】化简下列各式：
（1）sin（x+y）cosy－cos(x+y)siny= ； （2）cos（x+y）cosy+sin(x+y)siny= ；
（3）cos（80°+2θ）cos（35°+2θ）+sin（80°+2θ）sin（35°+2θ）= . 【解答】（1）sin（x+y）cosy－cos(x+y)siny=sin[(x+y)-y]=sinx （2）cos（x+y）cosy+sin(x+y)siny= cos[(x+y)-y]=cosx
（3）cos（80°+2θ）cos（35°+2θ）+sin（80°+2θ）sin（35°+2θ） =cos[(80°+2θ)- （35°+2θ）] = cos45°=
22cos15?sin15?求值.
【评述】本题考查和角正弦，余弦公式的反向应用，同时强调公式中字母的任意性. 【例3】设?,?是锐角且sin?=
55，sin?=
1010则???
【解答】因为?,?是锐角，所以0＜???＜π
551010因为sin?=，sin?= ，
所以cos?=
255，cos?=
31010
从而可得cos（???）=cos?cos??sin?sin?=所以???＝
?422
13【例4】（1）已知tan?=
，则tan???????= . ?2? 23
（2）若角x适合于sinx2sin
?6－cosx2cos
???6=
12，则角x= .
【解答】（1）方法一：因为tan?1???3. ???＝?1?2?3???方法二：因为tan????＝
?2????sin?????2????cos?????2?sin?cos?2cos??coscos??sin?2sin??2?2 sin?=
cos??sin???cot?
又tan??13，所以tan?????????3. ?2?（2）由已知得，cosxcos???6?sinxsin?6??12
所以cos?x??6??1??? 6?22?3,k?Z.
5?6,k?Z
∴x??2k??∴x＝2k???2 或x＝2k??【评述】在运用公式时，要注意公式的应用范围，如tan??2??????就不能用两角和的正切公?2?式展开，因为tan不存在.
45【例5】（1）已知：?,?为锐角，且cos??25，cos(???)??1665，求cos?的值.
（2）若tan(???)?，tan???????1?????,求tan????的值. 4?44????【分析】（1）中所求角??(???)??，（2）中由于????4???????????????，故而4??4????(???)?(???4).
【解答】（1）由于cos?＝[（???）－?]＝cos（???）cos?+sin（???）sin?
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∵?,?为锐角 cos??45 ∴sin??351665
∴sin（???）＝
14∵0＜???＜π cos（???）＝?∴由于tan（???）＝
2?1256365
tan(???4)?
??3?∴tan?????54?
21422??1?54【评述】解述三角函数求值问题时，要注意研究角与角之间的联系. 【例6】求证下列等式成立 （1）
sin(???)sin(???)sin?cos22??1?tan22?tan?；（2）cos?????3sin??2sin????
?6?【证明】（1）方法一：左边＝
(sin?cos??cos?sin?)(sin?cos??cos?sin?)sin?cos22?
＝
sin?cos22??cos?sin2222?sin?cos??1?tan22?tan?2?右边 ∴等式成立.
sin?方法二：右边＝
tan??tantan222??cos?2?2sin22?
cos?sin?cos?2?sin?cos22??cos?sin2222?sin?cos??(sin?cos??cos?sin?)(sin?cos??cos?sin?)sin?cos22?
=
sin(???)sin(???)sin?cos22??右边 ∴等式成立.
?1???3???（2）方法一：右边＝2?sincos??cossin???2cos??sin?? ??662???2??cos??3sin??左边 ∴等式成立.
方法二：左边＝2?∴等式成立.
?13?????????＝2?sin?coscos???cos?sin?2sin?????＝右边 ?2?2?66?6????3?m2m?1【例7】要使3sin??cos??有意义，则m的取值范围是（ ）
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