证法三：左边－右边＝
cosx1?sinxcos2?1?sinxcosx2?cos2x?(1?sinx)(1?sinx)(1?sinx)cosx
?cos2x?(1?sin2x)(1?sinx)cosx?x?cosx(1?sinx)cosx＝0
∴左边＝右边等式成立. 证法四：∵sin2x?cos22x?1
∴cos2x?1?sinx?(1?sinx)(1?sinx)
cosx1?sinx?1?sinxcosx又∵1 - sinx ≠0，cos??0 ∴
证法五：欲证等式成立，只需证cos2x?(1?sinx)(1?sinx)
?cosx?1?sin22x?sin2x?cos22x?1
2由同角三角函数基本关系式知sinx?cosx?1，所以等式成立.
【评述】考查三角恒等式的基本方法. 【例7】求下列各式的值：
（1）sin370°+sin190°； （2）cos520°+cos340° （3）co225°+sin（-60°） （4）cos????294??；
??（5）sin（-1071°）2sin99°+sin(-171°)2sin(-261°)； （6）1+sin（?－360°）2sin（180°+?）－2cos2(??)，其中?＝
?3.
【解答】（1）sin370°+sin190°＝sin(360°-10°)+sin（180°+10°） ＝sin10°－sin10°＝0
（2）cos520°+cos340°＝cos（360°+160°）+cos(180°+160°) ＝cos160°- cos160°＝0
（3）cos225°+sin（-60°）＝cos（180°+45°）－sin60°＝-cos45°-sin60° ＝?22?32??2?2??3
（4）cos????294??＝cos????32?4?3??3????2??cos??????cos?? ??cos4?44?42?（5）sin（-1071°）2sin99°+sin(-171°)2sin(-261°)
＝sin（-1080°+9°）2sin99°+sin（-360°+189°）2sin（-360°+99°） ＝sin9°sin99°+sin（180°+9°）sin99° ＝sin9°sin99°-sin9°sin99° ＝0
16
（6）1+sin（??360?）2sin(180°+ ?)-2cos2(??) ＝1+sin?2（－sin?）－2cos2? ＝1－sin2??2cos2???cos2? ∵???3 ∴原式＝－cos2?3??14
【评述】利用诱导公式将任意三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：负化正、大化小，化为锐角就算好，这些步骤体现了将未知问题化归为已知问题的数学思想。 【例8】化简 （1）
tan(???)cos(????)cos(???)tan(3???)22；
（2）
sin(???)?cos(??)?cos(???)cos(??6?)sin(??)?cos(???)?sin(???)sin(??6?)22
【解答】（1）
tan(???)cos(????)cos(???)tan(3???)2?tancos(???)(?cos?)tan(???)?tan?（ ·?cos?）?1
?cos?·tan?（2）
sin(???)?cos(??)?cos(???)cos(??6?)sin(??)?cos(???)?sin(???)sin(??6?)22222
＝??tan? 222（?sin?）?（?cos?）?sin?·sin?cos?【例9】已知sin?，cos?是关于x的一元二次方程8x?6ax?2a?1?0的两实根，求a的值.
【解答】由韦达定理 6a?sin??cos?????8 ?2a?1?sin?·cos???8?2(?sin?)?cos??cos?·cos?sin?22第一个式子两边平方得1?2sin?cos??代入第二个式得1?2916a
22a?14?916a
2整理得9a?8a?20?0 解得a＝?109或a＝2
2当a＝2时，原方程为8x?12x?5?0，无实根故舍去，
17
而当a＝?109时，8x2?33203x?119?0有实根，故a＝?109
【例10】设tan??A.?6，（0＜?＜2π），则?＝（ ）
?3 B.
?6或
7?6 C. 或
4?3 D.
?3
【解答】B.
【评述】本题考查诱导公式的应用——“给值求角”.在给出角?的某一三角函数值后，求角可据以下步骤进行：①根据三角函数值，确定?的位置，如tan?＝
33，确定?在第一、
三象限.②在第一象限内寻找锐角，使其三角函数值与所给出的值的绝对值相等，如 tan?6＝tan?＝
33.③根据?所在象限确定所求角.如?在第一、三象限，则第三象限
[0，2π]内角可用???6表示，故所有正切值为
?633的角可表示为. k???6.④根据条件，
选定角.如0＜?＜2π，所以?＝【例11】已知sin?－cos?=【解答】由sin?－cos?=
1212或
7?6.
,?∈（π，2π）求sin?+cos?的值
14两边平方得1－2 sin?cos?＝得sin?cos?＝
38
2因此(sin??cos?)? 1+2 sin?cos?＝又?∈（π，2π），sin?cos?＞0 所以sin?与cos?同号，即?∈??,??3274
??
??因此sin?+cos?＜0 进而sin?+cos?＝?
强化训练 一、选择题
1.若x是象限角，且1?cosx??sinx ，则角x在（ ）
272
18
A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第一、四象限 D.第二、三象限 2.已知cos?＝A.?4345，并且?是第四象限角，那么tan?的值是（ ）
34 B. ? C.
1434 D.
43
3.当sin?cos?＝时，tan?+cot?的值是（ ）
A.-4 B.4 C.-2 D.2
4.已知命题为“tan?＝tan?”,命题乙为“?＝?”,则命题甲是命题乙的（ ） A.充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若cos???A.
1517817，则sin?的值等于（ ）
1517或?1517 B. C. ?1517 D.－
158或
158
6.已知命题：（1）sin2??cos2??1；（2）
cos?sin??cot?(??R)；（3）tan?2cot?=1
（?∈R）；（4）sin2(2???)?cos2(??2?)?1(??R,??R)以上四个命题中，假命题有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7.sin600°的值是（ ） A.
12 B.－
12 C.
32 D. －
32
8.已知cos???3??5??????，则????的值是（ ）
3?6??6?A.?33 B.
33 C.?66 D.
63
9.化简
1?2sin470?cos110?cos200??cos650?的值为（ ）
A.1 B.-1 C.±1 D.0
10.化简1?2sin(??1)cos(??1)的结果是（ ）
A.sin1－cos1 B.cos1－sin1 C. ±（cos1－sin1） D.以上都不对 11.已知A，B，C为△ABC的三个内角，下列关系式正确的是（ ）
A.cos（A+B）=cosC B. sin（A+B）=sinC C.tan(A+B)=tanC D.sin
A?B2＝sin
C2
12.若f(cosx)=cos2x，f（sin15°）的值是（ ）
19
A.?12 B.
12 C.?32 D.
32
13.若sin?＝?12，且0°＜?＜360°，且?＝（ ）
A.210° B.240°或300° C.240° D.210°或330° 14.如果?－??180?，那么下列等式中成立的是（ ）
A. sin?＝cos? B.cos?= cos? C. tan?= tan? D.sec?=sec? 二、填空题
15.sin420°＝ 。 16.已知sin?＝3 cos?，则17.若
4sin??2cos?5cos??3sin??6114cos??2sin?3cos??sin?? ，sin??sin?cos?＝ .
2，则tan?＝ .
18.已知sin?+cos?＝
32，则tan?+cot?＝ .
19.若?是第四象限角，且sin（π－?）＝－cos（π－?）＝ . 20.??1?32，则cos（π－?）＝ ，
?sin????1?cos??＝ . tan??1三、解答题
21.已知角θ为第四象限角，化简 （1）
1?2sin??cos?sin??cos? （2）
1?sin?1?sin??1?sin?1?sin?55
22.已知角?是三角形内角，且sin?－cos?＝?，求tan?的值.
23.计算：
（1）8sin510°2cos（-660°）2cot（-335°）2tan155°. （2）sin????7π11?7???5??cossin2－2cos????
663?3??24.已知?是第四象限角，且cos（3π+?）＝?（1）求sin（3π+?）的值
（2）求tan（－?）的值
23
20