北京市各区2012届高三第一学期理科数学期末试卷汇编
g(x)?a(x?2)?(x?2)3 (a为常数).
（I）求f(x) 的解析式；
（II）已知当x?1时，f(x)取得极值，求证：对任意x1,x2?(?1,1),|f(x1)?f(x2)|?4恒成立；
x?1,f(x0)?1时，有f(f(x0))?x0，
（III）若f(x)是[1,??)上的单调函数，且当0求证：
f(x0)?x0.
昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学(理科)试卷参考答案及评分标准 2012.1
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．) 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 D 5 A 6 B 7 C 8 D 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)
1 9．2 10. 2 11.（-2，0）； ?2
12. 26 13． 1 ; 1 14. ①③⑤
三、解答题(本大题共6小题，共80分) 15.（本小题满分13分）
1(2cos2A?1)?cos2A?cosA解：（I）由已知得：2，??2分
?cosA?
1.2 ??4分
?A?? ?0?A??， 3 ????6分
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b?csinBb （II）由sinBsinC 可得：sinC?c?2 ???7分
? b?2c ????8分
cosA?b2?c2?a24c2?
2bc?c2?94c2?12 ???10分 解得：c?3 , b?23 ???11分
S?12bcsinA?12?23?3?3332?2. ??13分
16.（本小题满分13分）
解：（I）设射击5次，恰有2次击中目标的事件为A.
P(A)?C2?(4)2?(1?4)332 555?625 ??4分
（Ⅱ）①完成两组练习后，恰好共耗用4发子弹的事件为B,则
P(B)?0.8?(1?0.8)2?0.8?(1?0.8)?0.8(1?0.8)?0.8?(1?0.8)2?0.8?08?0.0768 ……8分
②?可能取值为1，2，3，4，5. …… 9分
P(??1)?0.8; P(??2)?(1?0.8)?0.8?0.16
P(??3)?(1?0.8)2?0.8?0.032
P(??4)?(1?0.8)3?0.8?0.0064 P(??5)?(1?0.8)4?0.8?0.001 6??11分
?1 2 3 4 5 P 0.8 0.16 0.032 0.0064 0.0016 ?E??1.2496. ……13分
17（本小题满分14分）
证明：（I）连接AC,BD,AM,MC,MO,MN,且AC?BD?O?点O,M分别是PD,BD的中点第 7 页 共 99 页
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?MO//PB,PB?平面ACM
P?PB//平面ACM. …… 4分
(II) ?PA?平面ABCD
MN?PA?BD?底面ABCD是正方形，
AOBD?平面ABCD
?AC?BD
又
BDC?PA?AC?A ?BD?平面PAC ……
在?PBD中，点M，N分别是PD，PB的中点．
7分
?MN//BD
?MN?平面PAC . …… 9分
（III）
Pz MNADF?PA?平面ABCD，底面ABCD是正方形
以A为原点，建立空间直角坐标系
By
由PF?2FC 可得
Cx 1111221A(0,0,0),M(0,,),N(,0,),F(,,)2222333
设平面MNF的法向量为 n?(x,y,z) 平面ABCD的法向量为AP?(0,0,1)
11121NM?(?,,0),NF?(,,?)22636 …… 11分
?xy???0??22??y?x?x?2y?z?0??z?5x 令x?1,可得 n ?(1,1,5) …… 13分 636?可得：解得：?cos?AP , n??527?52727 ……14分
18．（本小题满分13分）
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解：（1）由已知
?a1?2d?10,??a1?5d?22. 解得 a1?2,d?4.
?an?2?(n?1)?4?4n?2.??????4分
1Tn?1?bn3， ① （2）由于
131b1?1?b1.b1?Tn?1?1?bn?13 解得4，当n?2时，3令n=1，得② 111bn?bn?1?bn?bn?bn?133 ， 4－②得
bn13??.b1??0b44n?1又,
31{b}∴数列n是以4为首项，4为公比的等比数列.????????9分
bn?33(4n?2).cn?an?bn?n4??9分 4n??10分
（3）由（2）可得
cn?1?cn?3[4(n?1)?2]3(4n?2)30?36n??.n?1nn?1444
?n?1，故cn?1?cn?0. ?cn?1?cn.????????13分
19．（本小题13分）
ax?f(x)f(x)?e(ax?2)(x?1) ?????2分 解: 对函数求导得:
?(Ⅰ)当a?1时, f(x)?e(x?2)(x?1) ?令f(x)?0解得 x?1或x??2 ? f(x)?0解得?2?x?1
所以, f(x)单调增区间为(??,?2)和(1,??),
f(x)单调减区间为 (-2 ,1) . ?????5分
?(Ⅱ) 令f(x)?0,即(ax?2)(x?1)?0,解得
x??2a或x?1 6分
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当a?0时,列表得： x 2(??,?)a ?0 2a 2(?,1)a － ↘ 1 0 极小值 (1,??) + ↗ f?(x) + f(x) ↗ 极大值
?????8分
x??对于
221x2?0,?x?,a?0x2?x??0a时，因为aa,所以，
∴f(x)>0 ……… 10 分
x??对于
21f(1)??ea?0a时，由表可知函数在x?1时取得最小值a
1f(x)min?f(1)??eaa …… 11分 所以，当x?R时，
f(x)?由题意，不等式
5?0a对x?R恒成立，
1a5e??0aa所以得，解得0?a?ln5 ?????13分
?
20.（本小题满分14分）
解:(Ⅰ) 当x?0时，必有?x?0，则2?x?2,而若点P(x,y)在y?f(x)的图象上，
1(2?x,y)必在g(x)的图象上，即当x?0时， 则P(x,y)关于x?1的对称点Py?f(x)?g(2?x)?a[(2?x)?2]?[(2?x)?2]3??ax?x3
由于f(x)是奇函数，则任取x?0,有?x?0,且
f(x)??f(?x)??[?a(?x)?(?x)3]??ax?x3
又当x?0时，由f(?0)??f(0) 必有f(0)?0
3f(x)?x?ax. ……5分 x?R综上，当 时
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