北京市各区2012届高三第一学期理科数学期末试卷汇编
（Ⅱ）因为Sn?所以
n(3?3n)， 212211??(?)． ???9分 Snn(3?3n)3nn?1 故
1112?1111111???????(1?)?(?)?(?)???(?)?
22334nn?1?S1S2Sn3?
21(1?)． ???11分 3n?11111?1， 因为n≥1，所以0?≤，于是≤1?n?122n?11212)?． 所以≤(1?33n?13? 即
11112≤?????． ?????13分 3S1S2Sn3（17）（共14分） 证明：（Ⅰ）连接BD ．
因为四边形ABCD为菱形，?BAD?60，
所以△ABD为正三角形．又Q为AD中点， 所以AD?BQ．
因为PA?PD,Q为AD的中点， 所以AD?PQ． 又BQ?PQ?Q，
所以AD?平面PQB． ??????4分 （Ⅱ）当t??1时，PA∥平面MQB． 3 P M 下面证明：
连接AC交BQ于N，连接MN． 因为AQ∥BC， 所以
D Q A N C B ANAQ1??． NCBC2第 31 页 共 99 页
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因为PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面MQB?平面PAC?MN，
所以MN∥PA.
PMAN1??． MCNC211所以PM?PC，即t?．
331 因为PM?PC，
3PM1?． 所以
MC2PMAN1??， 所以
MCNC2 所以MN∥PA.
所以
又MN?平面MQB，PA?平面MQB，
所以PA∥平面MQB． ????9分 （Ⅲ）因为PQ?AD，
又平面PAD?平面ABCD，交线为AD， 所以PQ?平面ABCD．
以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在的直 线为x,y,z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系Q?xyz． 由PA=PD=AD=2，
则有A(1,0,0)，B(0,3,0)，P(0,0,3)．
设平面MQB的法向量为n=(x,y,z)， 由PA?(1,0,?3)，QB?(0,3,0)
P z M D Q x A N B y C ????????且n?PA，n?QB，
?x?3z?0,可得?
?3y?0.令z?1,得x?3，y?0．
所以n=(3,0,1)为平面MQB的一个法向量．
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取平面ABCD的法向量m=(0,0,1)， 则cosm,n?11m?n?， ?mn2?12 故二面角M?BQ?C的大小为60°． ????14分
（18）（共13分）
证明：（Ⅰ）f?(x)?6ax2?6x?6x(ax?1)． 因为a?0且x?0，所以f?(x)?0．
所以函数f(x)在区间???,0?上是增函数． ????6分
（Ⅱ）由题意g(x)?2ax3?(6a?3)x2?6x,x??0,1?.
22ax?(2a?1)x?1?则g?(x)?6ax?2(6a?3)x?6?6???. ????8分
令g?(x)?0，即ax2?(2a?1)x?1?0. ①
由于??4a?1?0 ，可设方程①的两个根为x1，x2， 由①得x1x2??21， a由于a?0，所以x1x2?0，不妨设x1?0?x2，
g?(x)?6a(x?x1)(x?x2)．
当0?x2?1时，g(x2)为极小值，
所以在区间?0,1?上，g(x)在x?0或x?1处取得最大值；
当x2≥1时，由于g(x)在区间?0,1?上是单调递减函数，所以最大值为g(0)， 综上，函数g(x)只能在x?0或x?1处取得最大值． ????10分 又已知g(x)在x?0处取得最大值，所以g(0)≥g(1)， 即0≥8a?9，解得a≤所以a?（0,
9，又因为a?0， 89］． ???13分 8第 33 页 共 99 页
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（19）（共13分）
解：（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得b?1，a?2b?2，
x2?y2?1． ????5分 故椭圆方程为2（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，
设P(x1,y1)，Q(x2,y2),
因为M(0,1)，F(1,0)，故kPQ?1． ????7分 于是设直线l的方程为y?x?m，
由??y?x?m,223x?4mx?2m?2?0． 得22?x?2y?2,24m2m2?2由??0，得m?3， 且x1?x2??,x1x2?． ??9分
33?????????由题意应有MP?FQ?0，又MP?(x1,y1?1),FQ?(x2?1,y2)，
故x1(x2?1)?y2(y1?1)?0，
得x1(x2?1)?(x2?m)(x1?m?1)?0． 即2x1x2?(x1?x2)(m?1)?m2?m?0．
2m2?24?m(m?1)?m2?m?0． 整理得2?33解得m??4或m?1． ????12分 3经检验，当m?1时，△PQM不存在，故舍去m?1． 当m??44时，所求直线l存在，且直线l的方程为y?x?． 33 ????13分
（20）（共14分） 解：（Ⅰ）因为①当x?0时，f(0)?0，
所以方程f(x)?x?0有实数根0；
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②f?(x)?11?cosx， 24所以f?(x)??,?，满足条件0?f?(x)?1；
44由①②，函数f(x)??13???xsinx?是集合M中的元素. ????5分 24（Ⅱ）假设方程f(x)?x?0存在两个实数根?，?(???)，
则f(?)???0，f(β)?β?0. 不妨设???，根据题意存在c?(?,?)， 满足f(β)?f(α)?(β?α)f?(c).
因为f(?)??，f(?)??，且???，所以f?(c)?1. 与已知0?f?(x)?1矛盾.又f(x)?x?0有实数根，
所以方程f(x)?x?0有且只有一个实数根. ????10分 （Ⅲ）当x2?x3时，结论显然成立；
当x2?x3，不妨设a?x2?x3?b.
因为x??a,b?,且f?(x)?0,所以f(x)为增函数，那么f(x2)?f(x3). 又因为f?(x)?1?0，所以函数f(x)?x为减函数， 所以f(x2)?x2?f(x3)?x3.
所以0?f(x3)?f(x2)?x3?x2，即f(x3)?f(x2)?x3?x2. 因为x2?x1?1，所以?1?x1?x2?1， （1） 又因为x3?x1?1，所以?1?x3?x1?1， （2） （1）?（2）得?2?x2?x3?2即x3?x2?2. 所以f(x3)?f(x2)?x3?x2?2.
综上，对于任意符合条件的x1,x2,x3总有f(x3)?f(x2)?2成立.??14分
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