北京市各区2012届高三第一学期理科数学期末试卷汇编
所以f?(1)?0.又f(1)?ln2，因此所求的切线方程为y?ln2. ???? 4分
a?2ax2?a?2（Ⅱ）f?(x)?. ?????????? 5分 ??22ax?1(1?x)(ax?1)(1?x) （1）当a?2?0，即a?2时，因为x?0，所以f?(x)?0，所以函数f(x)在?0,???上单调递
增. ????????????????????????? 6分
2 （2）当a?2?0，即0?a?2时，令f?(x)?0，则ax?a?2?0（x?0），
所以x?2?a. a 因此，当x?[0,2?a2?a)时，f?(x)?0，当x?(,??)时，f?(x)?0. aa2?a,??)，函数f(x)的单调递减区间为a所以函数f(x)的单调递增区间为([0,2?a). ????????????????????????? 10分 a（Ⅲ）当a?2时，函数f(x)在?0,???上单调递增，则f(x)的最小值为f(0)?1，满足题意. ????????????????????????? 11分 当0?a?2时，由（Ⅱ）知函数f(x)的单调递增区间为(2?a,??)，函数f(x)的单调递减a区间为[0,2?a2?a)，则f(x)的最小值为f()，而f(0)?1，不合题意. aa所以a的取值范围是?2,???. ??????????????????? 13分
（19）（本小题满分14分）
解: （Ⅰ）由题得过两点A(4,0)，B(0,2)直线l的方程为x?2y?4?0.???? 1分 因为
c1?，所以a?2c，b?3c. a2x2y2 设椭圆方程为2?2?1,
4c3c第 21 页 共 99 页
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?x?2y?4?0,? 由?x2消去x得，4y2?12y?12?3c2?0. y2?2?2?1,?4c3c又因为直线l与椭圆C相切,所以??122?4?4(12?3c2)?0,解得c?1.
2x2y2??1. ?????????????????? 5分 所以椭圆方程为43（Ⅱ）易知直线m的斜率存在,设直线m的方程为y?k(x?4)，???????? 6分
?y?k(x?4),? 由?x2y2消去y，整理得(3?4k2)x2?32k2x?64k2?12?0. ???? 7分
?1,??3?4 由题意知??(32k2)2?4(3?4k2)(64k2?12)?0，
解得?11?k?. ???????????????????????? 8分 2232k264k2?12xx? 设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1?x2?. ?? 9分 22，123?4k3?4kx2y2??1相切， 又直线l:x?2y?4?0与椭圆C:43?x?2y?4?0,33? 由?x2y2解得x?1,y?，所以P(1,). ???????????10分
22??1,?3?4 则AP?245364581??. . 所以AM?AN?43547 又AM?AN?(4?x1)2?y12?(4?x2)2?y22
?(4?x1)2?k2(4?x1)2?(4?x2)2?k2(4?x2)2 2?(k?1)(4?x1)(4?x2)
2?(k?1)(x1x2?4(x1?x2)?16)
64k2?1232k2?(k?1)(?4??16) 223?4k3?4k
2?(k2?1)
36. 23?4k第 22 页 共 99 页
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所以(k?1)236812?，解得.经检验成立. ???????? 13分 k??23?4k74 所以直线m的方程为y??（20）（本小题满分14分）
2(x?4). ?????????????? 14分 4 （Ⅰ）解：因为a1?b1?0，所以a2?a1??1,b2?a1?b1?0. 2因为a2?b2??1?0,所以a3?因为a3?b3??a2?b21??,b3?b2?0. 22a?b11?0,所以a4?33??,b4?b3?0.
24211所以a1??1,a2??1,a3??,a4??. ?????????????? 2分
24由此猜想，当k?2时,ak?1?bk?1?0，则ak?下面用数学归纳法证明：
①当k?2时，已证成立.
?②假设当k?l（l?N，且l?2）猜想成立，
ak?1?bk?1ak?1?，bk?bk?1?0.? 3分 22 即al?1?bl?1?0，bl?bl?1?0，al? 当k?l?1时，由al?al?1?0. 2al?1a?blal?0，bl?bl?1?0得al?bl?0，al?1?l??0. 则bl?bl?1?0，
222 综上所述，猜想成立.
?1?所以an?a2????2???1?故an??1???2n?2n?2?1???1????2?n?2??12n?2(n?2).
n?1,n?2.. ?????????????????? 6分
（Ⅱ）解：当2?k?s时，假设ak?1?bk?1?0，根据已知条件则有bk?bk?1，
与b1?b2???bs矛盾，因此ak?1?bk?1?0不成立， ????? 7分 所以有ak?1?bk?1?0，从而有ak?ak?1，所以ak?a1.
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当ak?1?bk?1?0时，ak?ak?1，bk?所以bk?ak?ak?1?bk?1, 2ak?1?bk?11?ak?1?(bk?1?ak?1); ???????? 8分 221当2?k?s时，总有bk?ak?(bk?1?ak?1)成立.
2又b1?a1?0，
所以数列{bk?ak}(k?1,2,?,s)是首项为b1?a1，公比为
1的等比数列, 2?1?bk?ak?(b1?a1)???2?k?1，k?1,2,?,s,
k?1?1?又因为ak?a1，所以bk?(b1?a1)???2??a1. ??????????? 10分
22?m2（Ⅲ）证明：由题意得cn?1??cn?cn
mam ?因为cn?1?12cn?cn. m121cn?cn，所以cn?1?cn?cn2?0. mm所以数列{cn}是单调递增数列. ?????????????? 11分 因此要证cn?1(n?m),只须证cm?1. 由m?2，则cn?1?121111cn?cn 11111111?(?)?(?)???(?)? cmcmcm?1cm?1cm?2c2c1c1??m?1m?1?2?. mmm?1. 所以cm?m?1故当n?m,恒有cn?1. ???????????????????14分 第 24 页 共 99 页 北京市各区2012届高三第一学期理科数学期末试卷汇编 北京市东城区2012届高三上学期期末教学统一检测 数学（理科） 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合A?xx?0，B??0,1,2?，则 （A）A?B （B）B?A （C）A?B?B （D）A?B?? （2）在复平面内，复数 ??1?2i对应的点位于 ?i(A)第一象限 （B） 第二象限 （C） 第三象限 （D） 第四象限 （3）下列命题中正确的是 （A）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 （B）过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 （C）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 （D）如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面 （4）一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图中△ABC是边长 为2的正三角形，俯视图的边界为正六边形，那么该几何体的侧(左) 视图的面积为 （A） （5）在平面直角坐标系内，若曲线C：x?y?2ax?4ay?5a?4?0上所有的点均在第二象限内，则实数a的取值范围为 （A）???,?2? （6）如图所示，点P是函数y?2sin(?x??)(x?R,??0)的图象的最高点，M，N是该图象与x轴 第 25 页 共 99 页 22213 （B）1 （C） （D） 2 22 （B） ???,?1? （C）?1,??? （D）?2,???