北京市各区2012届高三第一学期理科数学期末试卷汇编
的交点，若PM?PN?0，则?的值为 （A）
? 8 （B）
? 4（C）4
（D）8
（7）对于函数f(x）?lgx?2?1，有如下三个命题：
①f(x?2)是偶函数；
②f(x)在区间(??,2)上是减函数，在区间?2,???上是增函数； ③f(x?2)?f(x)在区间?2,???上是增函数．
其中正确命题的序号是
（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③
（8）已知函数f(x)?x2?1的定义域为?a,b?(a?b)，值域为?1,5?，则在平面直角坐标系内，点(a,b)的
运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为
（A）8 （B）6 （C）4 （D）2
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第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）已知sin??2cos?，那么tan2?的值为 ．
（10）若非零向量a，b满足a?b?a?b，则a与a?b的夹角为 ．
?sin?x,x?0,5（11）已知函数f(x)??那么f()的值为 ．
6?f(x?1),x?0,（12）在等差数列?an?中，若a5?a7?4，a6?a8??2，则数列?an?的公差等于 ； 其前n项和Sn的最大值为 ．
y B F
x2y2（13）如图，已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左顶点为A，左焦点为F， A ab 上顶点为B，若?BAO??BFO?90，则该椭圆的离心率是 . ?O x (14)已知不等式xy≤ax2?2y2，若对任意x??1,2?且y??2,3?，该不等式恒成立，则实 数a的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sinB?cosB?1，b?1．
5?，求c； 12（Ⅱ）若a?2c，求△ABC的面积．
（Ⅰ）若A?
（16）（本小题共13分）
在等差数列?an?中，a1?3，其前n项和为Sn，等比数列?bn?的各项均为正数，b1?1，公比为q，且b2?S2?12， q?（Ⅰ）求an与bn； （Ⅱ）证明：
S2． b211112?????． ≤
3S1S2Sn3第 27 页 共 99 页
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（17）（本小题共14分）
?如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，?BAD?60，Q为AD的
中点，PA?PD?AD?2． （Ⅰ）求证：AD?平面PQB；
（Ⅱ）点M在线段PC上，PM?tPC，试确定t的值，
使PA//平面MQB；
P M D Q A C （Ⅲ）若PA//平面MQB，平面PAD?平面ABCD， 求二面角M?BQ?C的大小．
（18）（本小题共13分）
已知函数f(x)?2ax3?3x2，其中a?0． （Ⅰ）求证：函数f(x)在区间(??,0)上是增函数；
B （Ⅱ）若函数g(x)?f(x)?f?(x)(x??0,1?)在x?0处取得最大值，求a的取值范围．
（19）（本小题共13分）
x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(1,0)，M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△
abOMF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点， 且使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三边高线的交
点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
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（20）(本小题共14分)
已知M是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意f(x)?M，①方程f(x)?x?0有实数根；②函数f(x)的导数f?(x)满足0?f?(x)?1． （Ⅰ）判断函数f(x)?xsinx?是否是集合M中的元素，并说明理由； 24（Ⅱ）集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意?m,n??D，都存在
x0??m,n?，使得等式f(n)?f(m)?(n?m)f?(x0)成立．试用这一性质证明：方程f(x)?x?0有且只有一个实数根；
（Ⅲ）对任意f(x)?M，且x??a,b?，求证：对于f(x)定义域中任意的x1，x2，x3，当x2?x1?1，
且x3?x1?1时，f(x3)?f(x2)?2.
参考答案及评分标准 （理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）A （3）D （4）C （5）D （6）B （7）A （8）C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）?41? （10）30 （11）? 32（12）?3 57 （13）
5?1 （14）a≥?1
2
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注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：（Ⅰ）由已知3sinB?cosB?1，
整理得sin(B??1)?． ??????2分 62 因为0?B??，
所以? 故B? 由A? 由
??5?B???. 666????，解得B?. ?????4分 6635??，且A?B?C??，得C?. 124cb?，即sinCsinBc?sin4?1?sin3，
解得c?6. ??????7分 3?， 3222 （Ⅱ）因为b?a?c?2accosB，又a?2c，B?所以b?4c?c?4c?22222221，解得b?3c. ??????10分 2?1，c?． 23 由此得a?b?c，故△ABC为直角三角形，A? 其面积S? （16）（共13分）
13． ??????13分 bc?26 解：（Ⅰ）设?an?的公差为d，
?b2?S2?12,?q?6?d?12，??S26?d 因为?所以?q?．q?,??qb?2? 解得 q?3或q??4（舍），d?3．
故an?3?3(n?1)?3n ，bn?3n?1． ?????6分
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