北京市各区2012届高三第一学期理科数学期末试卷汇编
2?f(x)f(x)?3x?a?0，即a?3 x?1x?1（Ⅱ）若时取到极值，则必有当时2?f(x)?3x?3?3(x?1)(x?1)知，当x?(?1,1)时，f?(x)?0，f(x)为减函数 又由
?当x?[?1,1]时，f(?1)?f(x)?f(1)?(?1)3?3(?1)?2?f(x)?f(1)??2
?当x1,x2?(?1,1)时 |f(x1)?f(x2)|?|f(?1)?f(1)|?4 . ……9分
2?f(x)[1,??)f(x)?3x?a?0对任意x?[1,??)皆成立，这样的实数a不存（Ⅲ）若在 为减函数，则
在
2??若f(x)为增函数，则可令f(x)?3x?a?0 .由于f(x)在[1,??)上为增函数，可令
f?(x)?3x2?a?f?(1)?3?a?0，即当a?3时，f(x)在[1,??)上为增函数
由设
x0?1,f(x0)?1，f(f(x0))?x0 f(x0)?x0?1，则f[f(x0)]?f(x0)
?x0?f(x0)与所设矛盾
若则
x0?f(x0)?1
f(x0)?f[f(x0)] ?f(x0)?x0与所设矛盾
f(x0)?x0 ……14分
故必有
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北京市各区2012届高三第一学期理科数学期末试卷汇编
北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试试题
数学（理） 2012.1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
1.已知平面向量a?(3,1)，b?(x,3)，且a⊥b，则实数x的值为 （ ） A．9 B．1 C．?1 D． ?9
2.设集合U=?1,2,3,4?，M=x?Ux2?5x+p=0，若CUM=?2,3?，则实数p的值 为 ( ) A．?4 B． 4 C．?6 D．6
3. 设数列?an?是公差不为0的等差数列，a1?1且a1,a3,a6成等比数列，则?an?的前n项和Sn等于 （ ）
??n27nn27n??A． B． 8844n23n? C．
24 D．n?n
24.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ） A．1 B．?1 C． ?2 D．0
5.已知函数f(x)?sinx?3cosx，设a?f()，b?f()，c?f()，则a,b,c的大小关系是
???763（ ）
A. a?b?c B.c?a?b C.b?a?c D.b?c?a 6.函数f(x)?2?x2?a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是（ ） x第 12 页 共 99 页
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A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D． (0,2) 7. 已知正方形ABCD的边长为22，将?ABC沿对角线AC面ABC?平面ACD，得到如图所示的三棱锥B?ACD．若边的中点，M，N分别为线段DC，BO上的动点（不包括
BNA
DOMC
折起，使平
O为AC端点），且的函数图象
BN?CM.设BN?x，则三棱锥N?AMC的体积y?f(x)大致是（ ）
A． B．
C． D．
8.已知集合A?{(x,y)|x?n,y?na?b,n?Z},B?{(x,y)|x?m,y?3m2?12, m?Z}.若存在实数a,b使得A?B??成立,称点(a,b)为“￡”点，则“￡”点在平面区域C?{(x,y)|x2?y2?108}内的个数是 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.
9.已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取200辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间[60,70)上的汽车大约有 辆.
10．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的是 .
3 2 主视图 第 13 页 共 99 页 004 003 002 001 频率 组距 O 40 50 60 70 80 时速（km/h）
32 体积
2 侧视图 2 俯视图 北京市各区2012届高三第一学期理科数学期末试卷汇编
?x?y?0,?11. 在平面直角坐标系中,不等式组?x?y?4?0,所表示的平面区域的面积是9,则实数a的值
?x?a?为 .
12. 设直线x?my?1?0与圆(x?1)2?(y?2)2?4相交于A，B两点，且弦AB的长为23，则实数m的值是 .
13. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y（万元）与机器运转时间x（年数，x?N）的关系为y??x2?18x?25.则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是 万元.
14. 已知两个正数a,b,可按规则c?ab?a?b扩充为一个新数c,在a,b,c三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作. （1）若a?1,b?3,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________；
（2）若p?q?0，经过6次操作后扩充所得的数为(q?1)m(p?1)n?1（m,n为正整数），则m,n的值分别为______________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本题满分13分）
在锐角?ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足3a?2bsinA?0． （Ⅰ）求角B的大小；
?????????（Ⅱ）若a?c?5，且a?c，b?7，求AB?AC的值．
16. （本题满分13分）
如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏情况记为(a,b)（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只
5 2 3 5 3 2 能参加一A 时重新转奖的活动转盘，得分
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次活动）．
（Ⅰ）求某个家庭得分为(5,3)的概率？
（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份
奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？
（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为X，求X的分布列及
数学期望．
17. （本题满分13分）
如图，在四棱锥S?ABCD中，平面SAD?平面
ABCD．底面ABCD为矩形， AD?2a,AB?3a，SA?SD?a．
（Ⅰ）求证：CD?SA； （Ⅱ）求二面角C?SA?D的大小.
18. （本题满分13分）
已知函数f(x)?ln(ax?1)?1?x（x?0，a为正实数）. 1?x（Ⅰ）若a?1，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；
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