(3) 2ty?(t)?y(t)?3f(t) (4) [y?(t)]2?y(t)?f(t)
解 (1)线性；(2)线性时不变；(3)线性时变；(4)非线性时不变。
1-7 试证明方程
y?(t)?ay(t)?f(t)
所描述的系统为线性系统。式中a为常量。
证明 不失一般性，设输入有两个分量，且
f1(t)?y1(t)，f2(t)?y2(t)
则有
y1?(t)?ay1(t)?f1(t) y?2(t)?ay2(t)?f2(t) 相加得
y1?(t)?ay1(t)?y2?(t)?ay2(t)?f1(t)?f2(t) 即
ddt?y1(t)?y2(t)??a?y1(t)?y2(t)??f1(t)?f2(t)
可见
f1(t)?f2(t)?y1(t)?y2(t)
即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。
1-8 若有线性时不变系统的方程为
y?(t)?ay(t)?f(t)
若在非零f( t )作用下其响应y(t)?1?e?t，试求方程
y?(t)?ay(t)?2f(t)?f?(t)
的响应。
解 因为f( t ) ?y(t)?1?e?t，由线性关系，则
2f(t)?2y(t)?2(1?e?t)
由线性系统的微分特性，有
f?(t)?y?(t)?e?t
故响应
2f(t)?f?(t)?y(t)?2(1?e?t)?e?t?2?e?t
5
第2章习题解析
2-1 如图2-1所示系统，试以uC( t )为输出列出其微分方程。
题2-1图
解 由图示，有
iL?uCuCR?Cddt
又
i1tL?L?0(uS?uC)dt
故
1CL(uS?uC)?u?R?Cu?C?
从而得
u??(t)1C?RCu?(t)?1CLCuC(t)?1LCuS(t)
2-2 设有二阶系统方程
y??(t)?4y?(t)?4y(t)?0
在某起始状态下的0+起始值为
y(0?)?1,y?(0?)?2
试求零输入响应。
解 由特征方程
?2 + 4? + 4 =0
得 ?1 = ?2 = ?2 则零输入响应形式为
yzi(t)?(A1?A2t)e?2t
6
由于
yzi( 0+ ) = A1 = 1 ?2A1 + A2 = 2
所以
A2 = 4
故有
yzi(t)?(1?4t)e?2t,t?0
2-3 设有如下函数f( t )，试分别画出它们的波形。 (a) f( t ) = 2?( t ?1 ) ? 2?( t ?2 ) (b) f( t ) = sin?t[?( t ) ? ?( t ?6 )]
解 (a)和(b)的波形如图p2-3所示。
图p2-3
2-4 试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。
题2-4图
7
解 (a) f( t ) = ?( t ) ? 2?( t ?1 ) + ?( t ?2 ) (b) f( t ) = ?( t ) + ?( t ?T ) + ?( t ?2T )
2-5 试计算下列结果。 (1) t?( t ? 1 ) (2) (3) (4)
解 (1) t?( t ? 1 ) = ?( t ? 1 ) (2) (3) (4)
2-6 设有题2-6图示信号f( t )，对(a)写出f? ( t )的表达式，对(b)写出f? ( t )的表达式，并分别画出它们的波形。
题2-6图
解 (a)
12,0?t?2
????????t?(t?1)dt
cos(?t?π3)?(t)dt0?
?0?0?e?3t?(?t)dt
?????t?(t?1)dt?cos(?t?π3????(t?1)dt?1
0?)?(t)dt???0?cos(?π30?0?)?(t)dt?12
?0?0?e?3t?(?t)dt??0?0?e?3t?(t)dt???(t)dt?1
f? ( t ) = ?( t ? 2 )， t = 2
?2?( t ? 4 )， t = 4
(b) f? ( t ) = 2?( t ) ? 2?( t ? 1 ) ? 2?( t ? 3 ) + 2?( t ? 4 )
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图p2-6
2-7 如题2-7图一阶系统，对(a)求冲激响应i和uL，对(b)求冲激响应uC和iC，并画出它们的波形。
题2-7图
解 由图(a)有
Ldidt?uS(t)?Ri
即
didt?RLi?1LuS(t)
当uS( t ) = ?( t )，则冲激响应
h(t)?i(t)?1Le?RLt??(t)
则电压冲激响应
h(t)?uL(t)?Ldidt??(t)?RLe?RLt??(t)
对于图(b)RC电路，有方程
C
duCdt?iS?uCR
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