题3-8图
解 由于f1( t )的A = 2，? = 2，故其变换
F21(?)?A?Sa(??22)?4Sa(?)
根据尺度特性，有
f(t212)?2F1(2?)?8Sa(2?)
再由调制定理得
f(t)?ft21(2)cosπt?F2(?)
F?)?12[8Sa2(2??2π)?8Sa22((2??2π)]
?4Sa2(2??2π)?4Sa2(2??2π)
?sin2(2?)sin2(2?)(??π)2?(??π)2
3-9 试利用卷积定理求下列信号的频谱函数。 (1) f( t ) = Acos(?0t) ? ?( t ) (2) f( t ) = Asin(?0t)?( t )
解 （1）因为
Acos(?0t)?Aπ[?(???0)??(???0)]
?(t)?π?(?)?1j? 所以由时域卷积定理
F(?)?Aπ[?(???0)??(???0)]?[π?(?)?1j?]
20
?Aπj?[?(???0)??(???0)]
（2）因为
Asin(?0t)?jAπ[?(???0)??(???0)]
?(t)?π?(?)?1j? 由频域卷积定理
F(?)?1?2π?jAπ[?(???)??(???)]?[1??00π?(?)?j?]???jAπ2[?(????A0)??(???0)]?0?2??2 0
3-10 设有信号
f1( t ) = cos4?t
1,t?? f2( t ) = 0,t??
试求f1( t ) f2( t )的频谱函数。
解 设f1( t ) ? F1(?)，由调制定理
f1(t)cos4πt?12[F1(??4π)?F1(??4π)]?F(?)
而
F1(?)??Sa(??2)?2Sa(?)
故
F(?)?Sa(??4π)?Sa(??4π)
3-11 设有如下信号f( t )，分别求其频谱函数。 (1) f(t)?e?(3?j4)t??(t) (2) f(t)??(t)??(t?2)
解 (1) 因 e??t?1??j?
故
e?(3?j4)t?1(3?j4)?j??13?j(4??)
21
(2) 因 ?(t)??(t?2)?Gτ(t)?(t?1),??2
故
F(?)??Sa(???j?2)e?2Sa(?)e?j?
3-12 设信号
2,0?t?4
f1( t ) =
0,其他
试求f2( t ) = f1( t )cos50t的频谱函数，并大致画出其幅度频谱。
解 因
F(?)?2?Sa(???2)e?j2??8Sa(2?)e?j2
故
F2(?)?12[F1(??50)?F1(??50)]
?4Sa[2(??50)]e?j2(??50)?4Sa[2(??50)]e?j2(??50)
幅度频谱见图p3-12。 | F2(?) |
50
50
图p3-12
22
第4章习题解析
4-1 如题4-1图示RC系统，输入为方波u1( t )，试用卷积定理求响应u2( t )。
题4-1图
解 因为RC电路的频率响应为
H(j?)?1j??1
而响应
u2( t ) = u1( t ) * h( t )
故由卷积定理，得
U2(? ) = U1(? ) * H( j? )
而已知U1(?)?1j?(1?e?j?)，故
U2(?)?1?1(1?e?j?j??1j?)
反变换得
u2(t)?(1?e)?(t)?[1?e?t?(t?1)]?(t?1)
4-2 一滤波器的频率特性如题图4-2所示，当输入为所示的f( t )信号时，求相应的输出y( t )。
题4-2图
23
解 因为输入f( t )为周期冲激信号，故
Fn?1T?1,?1?2πT?2π
所以f( t )的频谱
??F(?)?2π?Fn?(??n?1)?2π??(??2nπ)
当n = 0，?1，?2时，对应H( j? )才有输出，故n???
n???Y(? ) = F(? ) H( j? )
= 2?[2?(?) + ?(? ? 2?) + ?(? + 2?)]
反变换得
y( t ) = 2( 1 + cos2?t )
4-3 设系统的频率特性为
H(j?)?2j??2
试用频域法求系统的冲激响应和阶跃响应。
解 冲激响应，故
h(t)?F?1[H(j?)]?2e?2t??(t)
而阶跃响应频域函数应为
S(?)?F[?(t)]?H(j?)?[π?(?)?12j?]?j??2
?π?(?)?12j??j??2 ?π?(?)?1j??1j??2
所以阶跃响应
s(t)?(1?e?2t)??(t)
4-4 如题图4-4所示是一个实际的信号加工系统，试写出系统的频率特性H( j? )。
题4-4图
24