由微分性质，有
y? ( t ) = f? ( t ) ? h( t )
再由积分性质，有
y(t)?f?(t)??t??h(?)d?
（2）因为
s( t ) = ?( t ) ? h( t )
由（1）的结果，得
s(t)???(t)??t??h(?)d?
??(t)??t??h(?)d?
??t??h(?)d?
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第3章习题解析
3-1 求题3-1图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。
题3-1图
解 对于周期锯齿波信号，在周期( 0，T )内可表示为
f(t)?ATt
系数
a1f(t)dt?10?T?T0T?TAt0Tdt?A2
a?TTn?2T0f(t)cosn?1tdt?2AT2?0t?cosn?1tdt
??2A?tsinn?T1tT2???0 ??n?10??b2An?T?T(t)sinn?2A0f1tdt?T2?T0t?sinn?1tdt
T 2A?tcosn?1t??T2????A??n?10??nπ
所以三角级数为
A?f(t)?A2??sinn?1t
n?1nπ
3-2 求周期冲激序列信号
??T(t)???(t?nT)
n???的指数形式的傅里叶级数表示式，它是否具有收敛性？
解 冲激串信号的复系数为
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Fn?1TT?2T?2?(t)e?jn?1tdt?1T
所以
?T(t)?1T??n???ejn?1t
因Fn为常数，故无收敛性。
3-3 设有周期方波信号f( t )，其脉冲宽度? = 1ms，问该信号的频带宽度（带宽）为多少？若?压缩为0.2ms，其带宽又为多少？
解 对方波信号，其带宽为?f?当?1 = 1ms时，则
?f1?11?Hz，
?11?10.001?1000Hz
当?2 = 0.2ms时，则
?f2??2?10.0002?5000Hz
3-4 求题3-4图示信号的傅里叶变换。
题3-4图
解 (a)因为
tf( t ) = ?0,,t??
t??
为奇函数，故
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F(?)??j2??t0?sin?tdt
??j2??2[sin?????cos??]
?j2?[cos???Sa(??)]
或用微分定理求解亦可。
(b) f( t )为奇函数，故
F(?)??j2??0(?1)sin?tdt
?2j?[co??s?1]?j4?sin2(??2)
若用微分-积分定理求解，可先求出f? ( t )，即
f? ( t ) = ?( t + ? ) + ?( t ? ? ) ? 2?( t )
所以
f?(t)?Fj???j??1(j?)?e?e?2?2cos???2
又因为F1( 0 ) = 0，故
F(?)?1j?F1(?)?2j?(cos???1)
3-5 试求下列信号的频谱函数。 (1) f(t)?e?2t
(2) f(t)?e?atsin?0t??(t)
解 (1) F(?)????j?t??02t?j?t??2t?j?t??f(t)edt??eedt??0eedt
?112?j??2?j??44??2
(2) F(?)???j?0t??f(t)e?j?tdt???e?at10?2j(ej?0t?e?)e?j?tdt?1?j?0tj?0t?e(?a?j?)t2j?0[e?e(?a?j?)t?e?]dt
?1?1?2j??j?)?j??1?(?0(??j?)?j?? 0??102j?2j?0(??j?)2??2??(??j?)2??2
00
3-6 对于如题3-6图所示的三角波信号，试证明其频谱函数为
F(?)?A?Sa2(??
2)
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题3-6图
证 因为
(A(1?tf( t ) =
?),t??
0，| t | > ? 则
F(?)?2??t0A(1??)cos?tdt
?2A?2?(1?cos??)
?4Asin2(???2?2)
?A?Sa2(??2)
3-7 试求信号f( t ) = 1 + 2cost + 3cos3t的傅里叶变换。
解 因为
1 ? 2??(?)
2cost ? 2?[?(? ? 1) + ?(? + 1) ] 3cos3t ? 3?[?(? ? 3) + ?(? + 3) ]
故有
F(? ) = 2?[?(?) + ?(? ? 1) + ?(? + 1) ] + 3?[?(? ? 3) + ?(? + 3) ]
3-8 试利用傅里叶变换的性质，求题3-8图所示信号f2( t )的频谱函数。
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