即
??uC1RCuC?1CtRCiS
当iS = ?( t )时，则
h(t)?uC(t)?1Ce???(t)
同时，电流
duC1?tRCiC?Cdt??(t)?RCe??(t)
2-8 设有一阶系统方程
y?(t)?3y(t)?f?(t)?f(t)
试求其冲激响应h( t )和阶跃响应s( t )。
解 因方程的特征根? = ?3，故有
x3t1(t)?e???(t)
当h( t ) = ?( t )时，则冲激响应
h(t)?xt)?[??(t)??(t)]??(t)?2e?3t1(??(t)
阶跃响应
s(t)??t0h(?)d??13(1?2e?3t)?(t)
2-9 试求下列卷积。 (a) ?( t ) * 2
(b) ?( t + 3 ) * ?( t ? 5 ) (c) te?t??( t ) * ?? ( t )
解 (a) 由?( t )的特点，故
?( t ) * 2 = 2
(b) 按定义
?( t + 3 ) * ?( t ? 5 ) =
?????(??3)?(t???5)d?考虑到? < ?3时，?( ? + 3 ) = 0；? > t ?5时，?( t ?? ? 5 ) = 0，故
?( t + 3 ) * ?( t ? 5 ) =?t?5?3d??t?2,t?2
也可以利用迟延性质计算该卷积。因为
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?( t ) * ?( t ) = t?( t ) f1( t ? t1 ) * f2( t ? t2 ) = f( t ?t1 ?t2 )
故对本题，有
?( t + 3 ) * ?( t ? 5 ) = ( t + 3 ? 5 )?( t + 3 ? 5 ) = ( t ? 2 )?( t ? 2 )
两种方法结果一致。
(c) te?t??( t ) * ?? ( t ) = [te?t?( t )]? = ( e?t ? te?t )?( t )
2-10 对图示信号，求f1( t ) * f2( t )。
题2-10图
解 (a)先借用阶跃信号表示f1( t )和f2( t )，即
f1( t ) = 2?( t ) ? 2?( t ? 1 ) f2( t ) = ?( t ) ? ?( t ? 2 )
故
f1( t ) * f2( t ) = [2?( t ) ? 2?( t ? 1 )] * [?( t ) ? ?( t ? 2 )]
因为
?( t ) * ?( t ) =
?t01d?= t?( t )
故有
f1( t ) * f2( t ) = 2t?( t ) ? 2( t ? 1 )?( t ? 1 ) ?2( t ? 2 )?( t ? 2 ) + 2( t ? 3 )?( t ? 3 )
读者也可以用图形扫描法计算之。结果见图p2-10(a)所示。
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(b)根据? ( t )的特点，则
f1( t ) * f2( t ) = f1( t ) *[? ( t ) + ? ( t ? 2 ) + ? ( t + 2 )]
= f1( t ) + f1( t ? 2 ) + f1( t + 2 ) 结果见图p2-10(b)所示。
图p2-10
2-11 试求下列卷积。 (a) (1?e?2t)?(t)???(t)??(t)
(b) e?3t?(t)?d?tdt[e?(t)]
解 (a)因为??(t)??(t)???(t)??(t)，故
(1?e?2t)?(t)???(t)??(t)?(1?e?2t)?(t)??(t)?(1?e?2t)?(t)
(b)因为e?t?(t)??(t)，故
e?3t?(t)?d?tdt[e?(t)]?e?3t?(t)???(t)
??(t)?3e?3t
2-12 设有二阶系统方程
y??(t)?3y?(t)?2y(t)?4??(t)
试求零状态响应
解 因系统的特征方程为
?2 + 3? + 2 =0
解得特征根
?1 = ?1， ?2 = ?2
故特征函数
x?1t2(t)?e?e?2t?(e?t?e?2t)?(t)
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零状态响应
y(t)?4??(t)?x2(t)?4??(t)?(e?t?e?2t)?(t)
= (8e?2t?4e?t)?(t)
2-13 如图系统，已知
h1(t)??(t?1),h2(t)??(t)
试求系统的冲激响应h( t )。
题2-13图
解 由图关系，有
x(t)?f(t)?f(t)?h1(t)??(t)??(t)??(t?1)??(t)??(t?1)
所以冲激响应
h(t)?y(t)?x(t)?h2(t)?[?(t)??(t?1)]??(t)??(t)??(t?1)
即该系统输出一个方波。
2-14 如图系统，已知R1 = R2 =1?，L = 1H，C = 1F。试求冲激响应uC( t )。
题2-14图
解 由KCL和KVL，可得电路方程为
Cu???(1CR?R2C1211L)u?C?(L?RRC?1L)uR??(t)?R2?(t)
1R1L 13
代入数据得
???2uC??2uC???(t)??(t)uC
特征根
?1,2 = ?1 ? j1
故冲激响应uC( t )为
uC(t)?(eλ1tλ1t?e)*[??(t)??(t)]
?e?t(cots?sint)??(t)?e?tsint??(t)
?e?tcost??(t)V
2-15 一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入f( t ) = ?( t )时，全响应y1( t ) = 3e?3t??( t )；当输入f( t ) = ??( t )时，全响应y2( t ) = e?3t??( t )，试求该系统的冲激响应h( t )。
解 因为零状态响应
?( t ) ? s( t )，??( t ) ? ?s( t )
故有
y1( t ) = yzi( t ) + s( t ) = 3e?3t??( t ) y2( t ) = yzi( t ) ? s( t ) = e?3t??( t )
从而有
y1( t ) ? y2( t ) = 2s( t ) = 2e?3t??( t )
即
s( t ) = e?3t??( t )
故冲激响应
h( t ) = s? ( t ) = ?( t ) ? 3e?3t??( t )
2-16 若系统的零状态响应
y( t ) = f( t ) * h( t )
试证明： (1)
f(t)?h(t)?df(t)dt??t??h(?)d?
(2) 利用(1)的结果，证明阶跃响应
s(t)??t??h(?)d?
证 （1）因为
y( t ) = f( t ) ? h( t )
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