3.9题:写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限，自由能为：
F?U0?kBT?ln(q??qkBT)解：已知晶体自由能可以表示为
??1F?U0??????kTln(1?eqB?2q???qkBT?)???量子谐振子的自由能为：
??1??qF?U?kBT???ln(1?e???q?kBT)??q?2kBT对于经典极限，kBT????q，因而有
1????qqBT2k?0e?k?1???qBTkBT将上式代入F式中，便得到
F?U??q0?kBT?ln(qkBT)?13.10题：设晶体中每个振子的零点振动能为：??，2试用德拜模型求晶体的零点振动能。
解：根据量子力学，零点能是谐振子所固有的，与温
度无关，故T=0K时的振动能E0就是各振动模零点能
之和:?DE0??E0(?)g(?)d?0213V?将E0??? , g(?)?2322?C3V代入上式，
4m323V????m3E0?.??d??30222?C16?C其中V是晶体的体积
由
????k?Te??dE(T)3Vk??m?k?T?2CV(T)??.??d?3202??dT?k?T?2?C?1??e??2??式给出ωm
?2N??m?C?6??V??13把?m代入上式，便可得到晶体的零点能：
443?V2N3E0?(6?)C3216?CV1?C99N2?R?D?NkB(6?)388VkB3.11题:一维复式格子中，如果
计算
1)光学波频率的最大值
和最小值,
和
；
，声学波频率
的最大值2)相应声子的能量3)在
；
下，三种声子数目各为多少？
4)如果用电磁波激发光学波
要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段？