第8章课后习题详解 多元函数微分学
习题8-1
★1.设
f(x,y)?2xyx2?y2，求
yf(1,)。
x解：
yyx?2xyf(1,)?x12?(y)2x2?y2x2
★2. 已知函数
f(u,v,w)?uw?wu?v，试求f(x?y,x?y,xy)。
解： f(x?y,x?y,xy)?(x?y)xy?(xy)2x
★★3.设
z?x?y?f(x?y)，且当y?0时，z?x2，求f(x)。
解：将y?0代入原式得： x2?x?0?f(x?0) ，故 f(x)?x2?x
4.求下列函数的定义域： ★（1）z?ln(y2?2x?1)
2解：要使表达式有意义，必须 y?2x?1?0
? 所求定义域为 D?{(x,y)|y2?2x?1?0}
★（2）z?x?y 解：要使表达式有意义，必须x?★★（3）
y?0， ? D?{(x,y)|x?y}
u?arccoszx?y22解：要使表达式有意义，必须 ?1?zx?y22?1
? D?{(x,y,z)|?x2?y2?z?x2?y2}
4x?y2★★★（4）z? 22ln(1?x?y)?4x?y2?0?解：要使表达式有意义，必须 ?1?x2?y2?0
?ln(1?x2?y2)?0?ln1?? D?{(x,y)|0?x2?y2?1,y2?4x}
★★（5）
z?ln(y?x)?x1?x?y22
?y?x?0?22解：要使表达式有意义，必须?x?0 ? D?{(x,y)|x?y?1,0?x?y}
?1?x2?y2?0?5.求下列极限：
★（1）limx?1y?0ln(x?ey)x?y22 知识点：二重极限。
思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。 解：limx?1y?0ln(x?ey)x2?y2?ln2?ln2 1 ★★（2）lim2?xy?4x?0xyy?0知识点：二重极限。
思路： 应用有理化方法去根号。 解： ?lim★★★（3）
?xy?11?lim??
x?0xy(2?xy?4)x?02?xy?44y?0y?0x???y???lim(x2?y2)e?(x?y)
(x?y)2?2xy(x?y)22xy?lim(x?y?x?y)， 解： 原式?limx?yx???x???eeeey???y???? lim2xy?0,lim?0
x???exx???eyy???y???(x?y)2u?x?yu22u2?lim?lim?lim?0， limx?yx???u???euu???euu???euey???? lim(x2?y2)e?(x?y)?0
x??y??★★（4）
limx?0y?0xyx?y22
解：方法一： （应用二重极限定义，???语言）
? xyx?y22?x2?y22x?y22?12x?y22 ? ??22当0?x?y???0取?=2?，时 恒有 xyx?y22?0??
?limx?0y?0xyx?y22?0
方法二： （夹逼定理）
0?xyx?y22?xx?y22?|y|?|y| ，又 lim|y|?0
x?0y?0?limx?0y?0xyx?y22?0
方法三： （极坐标代换）
令 x?rcos?,y?rsin?，则当 (x,y)?(0,0)时，r?0(0???2?)
? limx?0y?0xyx2?y2?limrcos?rsin??limrcos?sin??0
r?0r?0r ★★（5）limx?0y?0x2?y2?sinx2?y2(x?y)223知识点：二重极限。
思路：先作变量替换，然后对未定型
0应用洛必达法则及等价无穷小量替换。 022? 解： 令x?y?u，则 (x,y)?(0,0)时，u?0，
?12uu?sinu洛必达1?cosu2?1。 原式?lim?lim?lim2u?0?u?0?u?0?3uu33u261?cos(x2?y2)(x?y)e22x2y2x?0y?0★★★（6）lim
解： limx?0y?01?cos(x2?y2)(x2?y2)ex22y1?cos(x2?y2)1?cos(x2?y2)x2y2?limlime?lim 2222x?0x?0x?0(x?y)(x?y)y?0y?0y?0x212u?y?u1?cosu2?0
?lim?lim??u?0u?0uu26.证明下列极限不存在
知识点：二重极限。
思路：若(x,y)沿不同曲线趋于(x0,y0)时，极限值不同，则二重极限不存在。
★★（1）
x?y
(x,y)?(0,0)x?ylimy?kx，则
证：取
x?y(1?k)x1?k，易见极限会随k值的变化而变化，故原式极限不存在。 ?lim?(x,y)?(0,0)x?yx?0(1?k)x1?ky?kxlimxy)1x?y★★★★（2）lim(1?x?0y?0
证：方法一：
lim(1?xy)x?0y?01x?y?lim(1?xy)x?0y?01xy?xyx?y?lim[(1?xy)]x?0y?01xyxyx?y
现考虑 limxy，
x?0(x?y)y?010若(x,y)沿x轴趋于(0,0)，则 上式?lim?0，从而 lim(1?xy)x?y?e0?1
x?0x?02xy?0y?0xxxyx?1?1，
若(x,y)沿曲线y?趋于(0,0)，则lim?limx?0x?0(x?y)xx?1xx?y?0y?x?1x?1x从而 lim(1?x?0y?0xy)1x?y?e
故原式极限不存在。
方法二：
若取xn?11,yn?，则 nn1x?y lim(1?xy)x?0y?0?lim(1?n??11n2??)?lim(1?)?22?n??nn??n212n?e0?1
若取xn11??,yn?，则
nn?1 lim(1?xy)x?0y?01x?y?1??lim?1??n???n(n?1)??n(n?1)?e
故原式极限不存在。
★★★（3）limx?0y?0xy?1?1 x?y 解：limx?0y?0xy?1?1xy?lim x?0(x?y)(xy?1?1)x?yy?0 若(x,y)沿x轴趋于(0,0)，则 上式?lim0?0
x?02xy?0xxxx?1?1
若(x,y)沿曲线y?趋于(0,0)，则上式?limx?0xx?1x2(x?)2y?x?1x?1故原式极限不存在。
注：若(x,y)沿曲线y??x趋于(0,0)，则lim(x?y)(xy?1?1)0?lim2?0
x?0x?0?xxyy?0y??x从而 limx?0y?0xy?1?1xy?lim??。 x?0(x?y)(xy?1?1)x?yy?07.研究下列函数的连续性
★（1）
y2?2x f(x,y)?2y?2x 解：当
y2?2x?0时函数无定义，故函数的间断点集为{(x,y)|y2?2x} f(x,y)?xyln(x2?y2)
22★★★（2）
12(x?y2)ln(x2?y2)| 2122u?x?ylnu洛必达2222 又 lim(x?y)ln(x?y)?limulnu?lim?limu?0
x?0u?0u?01u?01y?0?2uu22 故由夹逼定理 limxyln(x?y)?0，故(0,0)为可去间断点。
解： 函数间断点为 (0,0)， 由0?|xyln(x?y)|?|x?0y?0