?yfu??2xyfv?)2?f??u?f??v?z?y?f??u?f??v1?x?2(u??u?)?2fu??2xy(v??v?)?2xfv??x?y?yx?u?y?v?yx?u?y?v?y?y111????fuv???x2)?2fu??2xy(fvu????fvv???x2)?2xfv? ?2(fuuxxxx?y1???yfuv???2fu??2x3yfvv???2xfv?（f具连续二阶偏导数fuv???fvu??） ?3fuuxx2?(与书后答案不同
1fu??x2fv?)?fv??v?z1?fu??u?fu??v2?fv??ux??(???)?x(???) 2?y?yx?u?y?v?y?u?y?v?y111????fuv???x2)?x2(fvu????fvv???x2) ?(fuuxxx1???2xfuv???x4fvv??（f具连续二阶偏导数fuv???fvu??） ?2fuux2?(★★★11.设
z?f(x,y)二次可微，且x?eucosv,y?eusinv，试证：
2?2z?2z?2z?2u?z ?2?e(2?2) 2?x?y?u?v知识点：多元复合函数的求导法则
思路：在本题中将函数看为u,v的函数时，x,y是中间变量的角色。按链式法则对自变量u,v求导即得
右边；将函数看为x,y的函数时按求导法则即得左边。
证：
?z?fx?eucosv?fy?eusinv;?u?z??fx?eusinv?fy?eucosv； ?v?2zuu????(fecosv)?(fesinv)?xuyu2?u??eucosv?fxy??eusinv)?fx?eucosv?eusinv(fyx??eucosv?fyy??eusinv)?fy?eusinv?eucosv(fxx ?e（
2u???2eusinvcosvfxy???e2usin2vfyy???fx?eucosv?fx?eusinv cos2vfxx???fyx??） fxyf二次可微，故
?2z?u??(?fx?eusinv)?v?(fyecosv)v2?v??(?eusinv)?fxy??eucosv)?fx?eucosv?eucosv(fyx??(?eusinv)?fyy??eucosv)?fy?eusinv??eusinv(fxx???2eusinvcosvfxy???e2ucos2vfyy???fx?eucosv?fy?eusinv ?e2usin2vfxx（
f二次可微，故
?2z?2z???e2ufyy?? ???fyx??）?2?e2ufxx；又 fxy2?u?v故 左边?e?2u?2z?2z?2z?2z?2u2u2u???efyy??)?2?2?右边，得证。 (2?2)?e(efxx?u?v?x?y★★★12.设u?x?(x?y)?y?(x?y)，其中函数?,?具有二阶连续偏导数，验证：
?2u?2u?2u ?2??0。
?x2?x?y?y2证： 令v?x?y，则
?u?u??(v)?x??(v)?y??(v)； ?x??(v)??(v)?y??(v)； ?x?y?2u???(v)???(v)?x???(v)?y???(v)?2??(v)?x???(v)?y???(v) 2?x?2u???(v)?x???(v)???(v)?y???(v) ?x?y?2u?x???(v)???(v)???(v)?y???(v)?x???(v)?2??(v)?y???(v) ?y2?2u?2u?2u故 ?2?2?0，得证。 2?x?x?y?y
§8.5 隐函数微分法
内容概要 隐 分类 函 数 微 分 若三元方程F(x,y,z)?0确定二元隐函数z一个方程情形 若二元方程F(x,y)?0确定一元隐函数法则 y?f(x)，则Fdy??xdxFy ?f(x,y)，则 FyFx?z?z??,???xFz?yFz方程组情形 ?F(x,y,u,v)?0若方程组?确定二元函数u?u(x,y),v?v(x,y) ?G(x,y,u,v)?0FxFvFuFxFyFvFuFy GG?vGG?u??xv,??ux则FuFv?xFuFv?xGuGvGuGv
GyGv?vGuGy?u，??,??FuFv?yFuFv?yGuGvGuGv课后习题全解
习题8-5
★★ 1.已知lnx2?y2?arctanyx，求
dy。 dx 知识点：隐函数求导。
思路：设左端函数为F(x,y)，先求出Fx,Fy，代入
Fdy??xdxFy。
解 ：设 F(x,y)y， x12x1yx?yFx(x,y)???(?)?2x2?y21?(y)2x2x2?y2x12y11y?x Fy(x,y)????2222y2x?y1?()2xx?yx?lnx2?y2?arctan，
所以
Fdyy?x ??x?dxFyy?x注： 本题也可通过一元函数隐函数求导法则求解。
★★ 2.设
x?2y?z?2xyz?0，求
?z?z, ?x?y 解： 方法一; （应用隐函数存在定理公式
FyF?z?z??x,???xFz?yFz）
设 F(x,y,z)?x?2y?z?2xyz，
，
Fx?1?yzxzxy,Fy?1?,Fz?1?xyzxyzxyz1?yzxyzyz?xyzF?z??x???故
xy?xFzxyz?xy1?xyz 方程两边同时对自变量x求偏导，得：
xzFyxyzxz?xyz?z?????；。
xy?yFzxyz?xy1?xyz1?方法二：（在方程两边对自变量求偏导，注意变量z为x,y的函数）
1??zyz?(??xxyzxy?z?x)?0，整理可得： (1?xy)?z?yz?1 xyzxyz?xxyz故
?z??x1?yzxyzxy?1xyz?yz?xyzxyz?xy
方程两边同时对自变量
y求偏导，得：
2??zxz?(??yxyzxy?zxy?zxz?y)?0，整理可得 (1?)??1 xyzxyz?yxyz故
xz?xyz?z??xy?yxyz?xy?1xyzz?f(x,y)由方程F(x?1?xzxyz
★★★3.设函数
zz?z?z,y?)?0所确定，证明 x?y?z?xy。 yx?x?y证：方法一：（应用隐函数存在定理公式）
设 G(x,y,z)zzzz?F(x?,y?)，令 u?x?,v?y?
yxyx 则 Gxzzzz?Fu??1?Fv??(?2)?Fu??2Fv?；Gy?Fu??(?2)?Fv??1??2Fu??Fv?；
xxyy Gz?Fu??1111?Fv???Fu??Fv? yxyx?x2Gxx2yFu??zyFv??z???? 故 x??xxGzxFu??yFv?y2G??xzFu??xy2Fv??zy????；y??yyGzxFu??yFv?
?z?z?x2yFu??zyFv??xzFu??xy2Fv?x?y??x?yxFu??yFv?z(xFu??yFv?)?xy(xFu??yFv?)??z?xy??xFu?yFv 方法二： 方程两边同时关于x,y求偏导，注意z是x,y的函数。 令 u
?x?zz,v?y?，方程两边同时关于x求偏导，得： yx?z?x2yFu??zyFv?1?zz1?z Fu?(1?)?Fv?(?2?)?0 ，故 x?y?xxx?x?xxFu??yFv??zxzFu??xy2Fv?又由 变量x,y的对称性同样可得： y??yxFu??yFv??z?z?x2yFu??zyFv??xzFu??xy2Fv?x?y??x?yxFu??yFv?z(xFu??yFv?)?xy(xFu??yFv?)??z?xyxFu??yFv?，
故
方法三：（利用全微分公式dz??z?zdx?dy及全微分形式的不变性） ?x?yzz,y?)?d(0) yx 方程两边同时取微分得 dF(x? 故 Fud(x?zz)?Fvd(y?)?0 yxFu(dx?ydz?zdyxdz?zdx)?Fd(y?)?0 整理得 v22yx (FuFvzFzF?)dz?(?Fu?2v)dx?(?Fv?2u)dy yxxy?x2yFu?yzFv?xy2Fv?xzFudz?2dx?dy 2xFu?xyFvxyFu?yFv?z?x2yFu?yzFv?z?xy2Fv?xzFu由全微分公式可知 ?2;?dy 2?xxFu?xyFv?yxyFu?yFv?z?z?x2yFu??zyFv??xzFu??xy2Fv?x?y??x?yxFu??yFv?z(xFu??yFv?)?xy(xFu??yFv?)??z?xyxFu??yFv?zx2?y2?z2?yf()，其中fy可导，求
故
★★★4. 设
?z?z, ?x?y 解： 方法一： 设 F(x,y,z)?x2?y2?z2?yf(u), 其中 u?zy