★★★8.设
1?x2ye?,x?0,y任意?f(x,y)??2x22，讨论f(x,y)在(0,0)处是否连续？
?ye?1?,x?0,y任意?0知识点：二元函数连续
思路：若limf(x,y)?f(x0,y0)，则函数z?f(x,y)在(x0,y0)连续。讨论(x0,y0)处二重极限
x?x0y?y0的存在性，若(x,y)沿不同曲线趋于(x0,y0)时，极限值不同，则二重极限不存在。
1解：若(x,y)沿x轴趋于(0,0)，则 limx?0y?0yex22x22ye?10?lim?0 x?01y?012 若(x,y)沿y?e?1x2轴趋于(0,0)，则 limx?0y?0yex22x2?limx?0y?e?1x2ye?111? 1?12故limx?0y?0f(x,y)不存在，从而函数f(x,y)在(0,0)处是不连续。
§8.2 偏导数 内容概要 导 数 导 定义 性质 几何意义：?z?x?limx?x0y?y0?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0) ?x?f(x0,y0)?,fx(x0,y0) ?xz?f(x,y)的偏导数也记为 fx(x0,y0)表示空间曲线 ?z?f(x,y)在点(x0,y0,z0) ?y?y0?处的切线Tx关于x轴的斜率 偏导函数的求法：（1）多元函数对某自变量求偏导时，只需将其余自变量看为常数，按一元函数求导法则计算导数。 （2）多元分段函数在分段点处偏导数要用偏导数定义来求。 zx(x0,y0),fx(x0,y0),偏 同理可定义 偏 数 ?z?y?limx?x0y?y0?y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0) ?y?f(x0,y0)?zy(x0,y0),fy(x0,y0),,fy(x0,y0) ?y高 阶 若函数z?f(x,y)的偏导数fx(x,y),fy(x,y) 如果z?f(x,y)的二阶混合偏导数 偏 在区域D内偏导数也存在，称它们为二阶偏导数。二 导 阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。 数 ?2z?2z在区域D内连续，则在,?x?y?y?xD内这两个偏导数相等。
课后习题全解
习题8-2
1. 求下列函数的偏导数：
★（1）
z?x3y?3x2y2?xy3；
知识点：二元函数偏导数
思路：函数对自变量x（y）求导时将另一自变量y（x）看为常量，按一元函数求导法则求导。 解：
?z?z?3x2y?6xy2?y3 ； ?x3?6x2y?3xy?x?y ；
2
x2?y2★★（2） z?xy?z1yx2?y2xy??， 故??2;解： z?yx?xyxxy★★（3）
?z1x??2?xxy
z?xx?y22 ；
?z解： ??xx2?y2?x2xy2(x2?y)3222x2?y2?22x?y?z ；??y?x2y2x2?y2?22x?y?xy(x2?y)322
注：该题中应用一元函数商式求导法则及复合函数求导法则。
★★（4）
z?ln(xy) ；
；
1??z111?(ln(xy))2x??y2xy2yln(xy)1??z111 解：?(ln(xy))2y??x2xy2xln(xy)
★（5）
z?sin(xy)?cos2(xy)；
?z?z?cos(xy)x?2cos(xy)(?sin(xy))x?cos(xy)y?2cos(xy)(?sin(xy))y解：?x ?y
?y[cos(xy)?sin(2xy)]?x[cos(xy)?sin(2xy)]★★★（6）
z?(1?xy)y；
知识点：二元函数偏导数
思路：函数对自变量x（y）求导时将另一自变量y（x）看为常量，按一元函数求导法则求导。在本题
中对自变量x求偏导时，函数为x的幂函数；对自变量y求偏导时，函数为y的幂指函数。 解： 方法一
?z?y(1?xy)y?1(1?xy)?x?y(1?xy)y?1y?y2(1?xy)y?1 ?x
y?zx?(eln(1?xy))?y?(eyln(1?xy))?y?eyln(1?xy)(ln(1?xy)?y) ?y1?xy
?xy??(1?xy)y?ln(1?xy)??
1?xy???z时也可利用下边第5节的隐函数求导法则） ?ylnz?yln(1?xy)
方法二：（求
在方程两边同时取自然对数得 方程两边同时对自变量
y求偏导数，注意z为x,y的函数
1?zx?ln(1?xy?)y z?y1?xy
??zxy??(1?xy)y?ln(1?xy)?? ?y1?xy??z?lntanx； y★★（7）
解：
?z1x11xx22x??sec2??cscsec?csc； ?xtanxyyyyyyyy?z1xxxxxx2x??sec2?(?2)??2cscsec??2csc?ytanxyyyyyyyy
★★（8） ux?()z；
y知识点：多元函数偏导数
思路：函数对自变量x（y或z）求导时将另两自变量y，z（x，z或x，y）看为常量，按一元函数求导
法则求导。 解：
?uxxx1zx?z()z?1?()?x?z()z?1??()z?1； ?xyyyyyy
?uxxxxzx?uxx?z()z?1?()?y?z()z?1?(?2)??()z； ?()z?ln ?yyyyyyy?xyy★★ 2. 设
f(x,y)?x?(y?1)arcsinxy ，求
fx(x,1)。
解： 法一： f(x,1)?x?(1?1)arcsinx?x，? 法二：
fx(x,1)?1；
fx(x,y)?1?(y?1)11?(x2)y?1xy2y?1，
?fx(x,1)?1
★★★3.设
1?222(x?y)sin,x?y?0?22x?yf(x,y)??，求fx?(x,y),fy?(x,y).
?,x2?y2?0?0,知识点：多元分段函数偏导数。
思路：分段函数分段点处偏导数用定义求；非分段点处应用法则求导。 解：当(x,y)?(0,0)时，
fx?(0,0)?lim?x?0f(0??x,0)?f(0,0)?lim?x?0?x(?x)2sin?x1|?x|?0
fy?(0,0)?lim?y?0f(0,0??y)?f(0,0)?lim?y?0?y?ysin11|?y|?limsin 不存在。 ?y?0?y|?y| 当 (x,y)?(0,0)时，
fx?(x,y)?2xsin1x?y1x?y2222?(x?y)cosx(x2?y)(x?y)22321x?y122??xx2?y2x2?y2
?2xsin?cosx?y22 fy?(x,y)?sin1x?y1x?y2222?(x?y)cosy(x2?y)(x?y)22321x?ycos22??yx2?y2
x2?y2 ?sin?1x?y22?x2?y2?z?★★4.曲线?4?y?4?在点(2,4,5)处的切线与x轴正向所成的倾角是多少？
知识点：多元函数偏导数的几何意义。
思路：z?f(x,y)的偏导数fx(x0,y0)表示空间曲线?于x轴的斜率，k?z?f(x,y)在点(x0,y0,z0)处的切线Tx关
y?y0?解：
?tan?。
?z2xx?z2??， ??1?tan?(2,4,5)?x42?x2，
????4
?2z?2z?2z5. 求下列函数的： ,2和2?x?y?x?y★（1）
z?x2yey；
?z?2xyey;?x?z?x2ey?x2yey?y
解：
?2z?2zyy)ye； ?2?(2xye??(2xyey)?y?2xey?2xyey?2x(1?y)ey x?2?x?xy?2z?2?(x2ey?x2yey)?y?x2ey?x2ey?x2yey?x2(2?y)ey ?y★★（2）
z?arctany； x 解：
?z1y?y??(?2)?2;2y?x1?()2xx?yx?z11x???2?y1?(y)2xx?y2x
?2z??y2xy ?2?； (2)?2222?x?xx?y(x?y)?2z??y?(x2?y2)?y?2yy2?x2 ??(2)??22222?x?y?yx?y(x?y)(x?y2)2?2z?x?2xy ?2?(2)??y?yx?y2(x2?y2)2★★★（3）
；
z?yx。
?z?xyx?1 ?y解：
?z?yxlny;?x?2z?x?2z?x2(ylny)?y(lny)； 2?(xyx?1)?x(x?1)yx?2 ?2??x?x?y?y