则 Fx??2x,Fy??2y?(f(u)?yf?(u)?(?1?2z?f?(u) y；
zz))?2y?f(u)?f?(u) 2yy Fz??2z?yf?(u)?故
F?z2x??x??z?xFz2z?f?()yzzzzz2y?f()?f?()2y2?yf()?zf?()Fy?zyyyyy??????zz?yFz2z?f?()2yz?yf?()yy方法二：方程两边同时关于x,y求偏导，注意z是x,y的函数。
方程两边同时对自变量x求偏导 得： 2x?2z
?z2x?zz1?z??yf?()? 整理得
?xf?(z)?2z?xyy?xyy求偏导 得：
方程两边同时对自变量
2y?2z?zzzz1?z?f()?yf?()?((?2)?) ?yyyyy?y (2z?z?zzzzf?())?f()?f?()?2y
y?yyyyzzzzzf()?f?()?2y2y2?yf()?zf?()?zyyyyy???故 。
zz?y2z?f?()2yz?yf?()yy★★★5. 设?(u,v)具连续偏导数，证明由方程?(cx?az,cy?bz)?0所确定的隐函数z?f(x,y)满足 a?z?z?b?c。 ?x?y证：在方程?(cx?az,cy?bz)?0两边关于x求偏导得：
?u?(c?ac?u??z?z?z)??v?(?b)?0 ??x?x?xa?u??b?v?y求偏导得：
同样地，方程两边关于
?u?(?ac?v??z?z?z )??v?(c?b)?0 ??y?y?ya?u??b?v?ac?u?bc?v?c(a?u??b?v?)?z?z???c，得证。 ? a?b??x?ya?u??b?v?a?u??b?v?a?u??b?v??2z?2z★★6. 设z?2xz?y?0，求 ,?x2?y23 解：方法一： （用隐函数求偏导公式）
设 F(x,y,z)?z3?2xz?y，则 Fx???2z,Fy??1,Fz??3z2?2x
Fy?Fx??z2z?z?1 故 ???2;???2?xFz?3z?2x?yFz?3z?2x?2z2z?()?x （求导时注意此式中z仍为x,y的函数） 所以 22?x3z?2x2 ??z?z?z(3z2?2x)?2z(6z?2)?2(3z2?2x)?4z?x?x?x?222(3z?2x)(3z?2x)22z?4z2?16xz3z?2x?(3z2?2x)2(3z2?2x)3
?2(3z2?2x) ?
?2z?1?()?y （求导时注意此式中z仍为x,y的函数） 22?y3z?2x?z?6z?y? ?(3z2?2x)2(3z2?2x)31?6z方法二：（直接法）
方程两边同时关于x求偏导得： 3z2
?z?z?z2z?2z?2x?0 （1） 整理得 ?2 ?x?x?x3z?2x方程（1）两边再关于x求偏导得：
2?z2?z?z?2z2?z?2?2?2x2?0 6z()?3z2?x?x?x?x?x 故
?z??x224?z?z?6z()2?x?x??16xz 3z2?2x(3z2?2x)3同样的 方程两边同时对 3z2y求偏导得：
?z?z?2x?1?0 （2） 整理得 ?y?y?z?1 ?2?y3z?2x方程（2）两边再关于x求偏导得：
2?z2?2z2?z 6z()?3z?2x2?0 ?y?y2?y?z2)?2z?6z?y?? 故 ?x23z2?2x(3z2?2x)3?6z(?2z★★7. 设 z?xz?yz?1，求
?x?y543。
(0,0)解： 设 F(x,y,z)?z5?xz4?yz3?1，则有：
Fx???z4,Fy??z3,Fz??5z4?4xz3?3yz2
Fy?Fx??zz4?z?z3 故 ???4;???4?xFz?5z?4xz3?3yz2?yFz?5z?4xz3?3yz2?2zz4 ?(4)? 32y?x?y5z?4xz?3yz4z3 ??z?z?z?z(5z4?4xz3?3yz2)?z4(20z3?12xz2?3z2?6yz)?y?y?y?y(5z4?4xz3?3yz2)245
?z?z3665(?4xz?6yz)?3z(?4xz?6yz)?4?3z632?y5z?4xz?3yz ??(5z4?4xz3?3yz2)2(5z4?4xz3?3yz2)2
?15z10?12xz9?9yz8 ?(5z4?4xz3?3yz2)3
?2z 又 x?0,y?0时 z?1，故
?x?y?x?y?z?0dxdy,★★8. 设?，求222dzdz?x?y?z?1 解：方法一：
由题意知，方程组确定隐函数组 x
??(0,0)3 25?x(z),y?y(z)，在方程组两边同时对z求导得
?dxdy?dxdy??1?0???1???dzdz?dzdz?? ， 整理得 dxdy?2x?2y?2z?0?2xdx?2ydy??2z??dzdz?dz?dz1?111dx?2z2yz?ydy2x?2zx?z当 ， ?2(y?x)?0时 ????2x2ydz2(y?x)y?xdz2(y?x)y?x方法二：（利用微分形式不变性）
由题意知，方程组确定隐函数组 x?11?x(z),y?y(z)，在方程组两边同时求微分得
(1)?dx?dy?dz?0 ??2xdx?2ydy?2zdz?0(2)将方程组中dx,dy看为未知量，(1)?y?(2)从中消去dy得 ，
dx?z?ydxz?ydz 即 ? y?xdzy?xdyx?z? dzy?x同理可得
2?dzdy?x?y?z?z?0, ★★9. 设?，求
23dxdx??x?y?z?z?1 解：由题意知，方程组确定隐函数组 z?z(x),y?y(x)，在方程组两边同时对x求导得
dz?dydzdz1???2z?0?dy??(1?2z)??1?dxdxdx??dxdx? 整理得 ?
?1?2ydy?dz?3z2dz?0dydz?2y?(1?3z2)??1?dxdxdx??dx?dx?1当
1?2z12dy?11?3z2z?3z2?0时 ??2； 211?2zdx3z?4yz?2y?12y1?3z1?2z2y1?3z2与课后答案不同。
1?12y?1dy2y?1??2 dx11?2z3z?4yz?2y?12y1?3z2注：本题也可采用8题方法二解决。
u??u?u?v?v?x?e?usinv,,, ★★10. ?，求
u?x?y?x?y??y?e?ucosv 解：方法一：
由题意知，方程组确定隐函数组 u?u(x,y),v?v(x,y)，在方程组两边同时对x求偏导得
?u?v?u?u1?e?sinv?ucosv???x?x?x??0?eu?u??ucosv?usinv?v??x?x?x??u?v?u(e?sinv)?ucosv?1???x?x，整理得 ?
?(eu?cosv)?u?usinv?v?0??x?x?1ucosv 故
0usinv?usinv?u?u， ?xe?sinvucosve(sinv?cosv)?1eu?cosvusinveu?sinv1eu?cosv0?vcosv?eu ???xeu?sinvucosvueu(sinv?cosv)?ueu?cosvusinv?u?cosv?vsinv?eu同理可得， 。 ?u;?u?ye(sinv?cosv)?1?yue(sinv?cosv)?u方法二：（利用全微分形式的不变性与全微分公式du?表示，则表示系数即为所求） 由题意知，方程组确定隐函数组 u?u?udx?dy，将du,dv用dx,dy ?x?y?u(x,y),v?v(x,y)，在方程组两边同时求微分得
u??dx?edu?sinvdu?ucosvdv(1) ?u??dy?edu?cosvdu?usinvdv(2)把 du,dv看成未知量，(1)?sinv?(2)?cosv 消去方程组中dv得：
du?sinvdx?cosvdy，由全微分公式可得：
eu(sinv?cosv)?1