法 一元函数又有多元函数的情形 函数z?f(u,v)在对应点(u,v)出具有连续偏导数，则复合函数 z?f[u(x,y),v(y)]在对应点(x,y)处可导， 且?z?z?u?z?z?u?zdv???，?x?u?x?y?u?y?vdy 注：若z?f(x,y,u)，u?u(x,y)，则z?f(x,y,u(x,y)) ；?z?f?f?u???x?x?u?x其中?z?f?f?u?? ?y?y?u?y?f为f对中间变量x的偏导数，此时应将z?f(x,y,u)中变量y,u看做常?x?z数；而为z?f(x,y,u(x,y))对自变量x的偏导数，此时将自变量y看为常数。 ?x?f?z与区别同上。 ?y?y
课后习题全解
习题 8-4
★★1. 设z?ydzt2t，而x?e,y?1?e，求xdt
解：
dz?zdx?zdy???? dt?xdt?ydtyt11?e2tt12t??2?e??(?2e)??2t?e?t?(?2e2t) xxee??(e?t?et)★★2. 设
z?ex?2y，而x?sint,y?t3，求
dzdt
解：
dz?zdx?zdy???? dt?xdt?ydt?ex?2y?cost?ex?2y(?2)?3t2?esint?2t3
(cost?6t)2
★★3. 设
z?u2?v2，而u?x?y,v?x?y，求
?z?z, ?x?y 解：
?z?z?u?z?v?????x?u?x?v?x
?z?z?u?z?v?????y?u?y?v?y
?2u?1?2v?1?2u?1?2v?(?1)
?2(x?y)?2(x?y)?4x?2(x?y)?2(x?y)?4y?z?z, ?x?y★★4.设
z?(x2?y2)xy，求
解： 令 u?x2?y2,v?xy,则函数可看为z?uv,u?x2?y2,v?xy复合而成的函数，从而
?z?z?u?z?v?????x?u?x?v?x
?z?z?u?z?v?????y?u?y?v?y
?vuv?1?2x?uvlnu?y
22xy?vuv?1?2y?uvlnu?x 2x2y2xy22222xy22?(x?y)(2?yln(x?y))?(x?y)(2?xln(x?y))22x?yx?y注：本题也可根据幂指函数求导法则u(x)导法。
★★5.设
?v(x)?x??elnu(x)v(x)??ev(x)lnu(x)?计算或用对数求
????xxz?arctan(xy),y?ex，求
dz dx解：
?zdz?z?zdy??? （指z对中间变量x的偏导数，此时将z?arctan(xy)中y看为常量）
?xdx?x?ydxyxex(1?x)x ? ??e?1?(xy)21?(xy)21?x2e2x6. 求下列函数的一阶偏导数（其中
★★（1） uf具有一阶连续偏导数）：
?f(x2?y2,xy)
2222解：令s?x?y,t?xy，则原函数为u?f(s,t),s?x?y,t?xy复合而成的函数，按多
元复合函数求道法则有：
?u?f?s?f?t?????2xfs??yft??x?s?x?t?x
?u?f?s?f?t??????2yfs??xft??y?s?y?t?yxy?f(,);
yz
★★★（2） u解： 令s?xyxyxy,t?，则原函数为u?f(,),s?,t?yzyzyz复合而成的函数，按多元复合函
数求导法则有：
?u?f?s?f?t11?????fs??0?fs??x?s?x?t?xyy?u?f?s?f?tyy?????0?2ft???2ft??z?s?z?t?zzz ★★（3） u?u?f?s?f?tx21??????fs??ft??y?s?y?t?yyz
?f(x,xy,xyz)
知识点：多元复合函数求导法则。
思路：函数有三个中间变量，其中变量x既是中间变量又是自变量。
解： 令s?xy,t?xyz，则函数为u?f(x,s,t),s?xy,t?xyz复合而成，按复合函数求导法
则有：
?u?f?f?s?f?t??????x?x?s?x?t?xfx??yfs??yzft?
（其中
?f为函数f?x对中间变量x的导数）
??u?f?f?s?f?t??0?????xfs??xzft??y?x?s?y?t?y?u?f?f?f?t??0??0???xyft??y?x?s?t?z★★★7.设
z?y，其中f22f(x?y)为可导函数，验证：
1?z1?zz??2x?xy?yyuv。
知识点：多元复合函数微分法。
22思路：本题为抽象函数f(x?y)的复合函数，故要用商式求导法则()??u?v?uv?，再按复合函2v数求导法则求导。 证：令u?x2?y2，则
?z?yf?(u)?2x2xyf?(u)???， 22?xf(u)f(u)?zf(u)?yf?(u)?(?2y)f(u)?2y2f?(u)， 所以有： ??22?yf(u)f(u)1?z1?z1?2xyf?(u)1f(u)?2y2f?(u)?2xy2f?(u)?xf(u)?2xy2f?(u) ?????x?xy?yxf2(u)yf2(u)xyf2(u)
?11yz???yf(u)yf(x2?y2)y2f(x2?y2)y2。
★★★8.设u?f(x?y?z,x?y?z)，其中
222?2u?2u?2uf有二阶连续偏导数，求?u?2?2?2?x?y?z
解： 令 s?x?y?z,t?x2?y2?z2，则函数可看为
u?f(s,t),s?x?y?z,t?x2?y2?z2复合而成的函数，由求导法则有：
?u?f?s?f?t?????fs??2xft??x?s?x?t?x，
?u?f?s?f?t?????fs??2yft??y?s?y?t?y，
?u?f?s?f?t?????fs??2zft??z?s?z?t?z 函数
fs?仍为fs?(s,t),s?x?y?z,t?x2?y2?z2复合而成的复合函数，依然以s,t为中间变
量以x,y,z为自变量，且由f有二阶连续偏导数，得
?ft??s?ft??t?2u?(fs??2xft?)?fs??s?fs??t???(???)?2ft?2x?(???) 2?x?x?s?x?t?x?s?x?t?x
?fss???2xfst???2ft??2x(fts???2xftt??)?fss???4xfst???4xftt???2ft?2
又由函数对自变量的对称性可得：
2?u?2u2???4zfst???4z2ftt???2ft? ????????f ，?f?4yf?4yf?2fssssstttt?z2?y2?2u?2u?2u??u?2?2?2?3fss???4(x?y?z)fst???4(x2?y2?z2)ftt???6ft?
?x?y?z★★9.设
z?f(2x?y,ysinx)，其中
?2zf具有连续二阶偏导数，求
?x?y解： 令 u?2x?y,v?ysinx， 则函数为u?f(u,v),u?2x?y,v?ysinx复合而成，按复
合函数求导法有：
?z?f?u?f?v?????2fu??ycosxfv??x?u?x?v?x由
，
f(u,v)为u,v的函数，所以fu?,fv?仍为以u,v为中间变量，以x,y为自变量的函数，故
?f??u?f??v?f??u?f??v?2z?(2fu??ycosxfv?)??2(u??u?)?fv?cosx?ycosx(v??v?)?x?y?y?u?y?v?y?u?y?v?y???fuv??sinx)?fv?cosx?ycosx(?fvu???fvv??sinx) ?2(?fuu???(2sinx?ycosx)fuv???ycosxsinxfvv???fv?cosx （f??2fuu（与课后答案不同。）
具连续二阶偏导数
???fvu??） fuv?2z?2z?2z10.求下列函数的,,2（其中f2?x?x?y?y ★★★（1） z具有二阶连续偏导数）
?f(xy,y)
解：令u?xy，则函数为u?f(u,y),u?xy复合而成的函数，其中变量y既是中间变量又是自变量，
按复合函数求导法有：
?z?f?u?f????0?yfu??x?u?x?y，
?z?f?u?f????xfu??fy??y?u?y?y（其中
?f是函数对中间变量?yy的偏导数，求解时将中间变量u看作常量）
又由
f(u,y)为u,y的函数，所以fu?,fy?仍为以u,y为中间变量，以x,y为自变量的函数，故
?fu??u?fu??2z?(yfu?)2?? ??y(???0)?yfuu2?x?x?u?x?y?f??u?f??2z?(yfu?)???yfuy???fu? ??y(u??u)?fu??xyfuu?x?y?y?u?y?y?fu??u?fu??fy??u?fy??2z?(xfu??fy?) ??x(??)???2?y?y?u?y?y?u?y?y ?x2???xfuy???xfyu???fyy???x2fuu???2xfuy???fyy?? fuuyz?f(,x2y)
xyy22解：令 u?,v?xy， 则函数为u?f(u,v),u?,v?xy复合而成，按多元复合函数求导法：
xx★★（2）
?z?f?u?f?v?y?????2fu??2xyfv??x?u?x?v?xx，
?z?f?u?f?v1?????fu??x2fv??y?u?y?v?yx
由
f(u,v)为u,v的函数，所以fu?,fv?仍为以u,v为中间变量，以x,y为自变量的函数，故
2?yfu??2xyfv?)2?fv??u?fv??v?z?y?fu??u?fu??v2y?x??(???)?f?2xy(???)?2yfv?u223?x?xx?u?x?v?xx?u?x?v?x?y?y2y?y???2?fuv???2xy)?3fu??2xy(fvu???2?fvv???2xy)?2yfv? ?2(fuuxxxx?(y24xy22y???2fuv???3fu??4x2y2fvv???2yfv?（f ?4fuuxxx具连续二阶偏导数
???fvu??） fuv