?2z?1?(yxlny)?xyx?1lny?yx?yx?1(xlny?1) ?x?y?yy★★6. 设
f(x,y,z)?xy2?yz2?zx2，求fxx(0,0,1),fxz(1,0,2),fyz(0,?1,0)及fzzx(2,0,1)。
解：fx?y2?2zx,?fxx?2z;fxz?2x，又 fy?2xy?2z,
?yfz?2，z
fz?2yz?x2,?fzx?2x;fzxx?2
所以
fxx(0,0,1)?2,fxz(1,0,2)?2,fyz(0,?1,0)?0，fzzx(2,0,1)?0
。
y2?z?z??(xy)，其中?(u)可导，证明x2?y2?xy★★★7. 设z?3x?x?y?zy2?z2y证： ??2???(xy)y,????(xy)x，
?x3x?y3xy22222 左边?x(?2???(xy)y)?y?y?xy??(xy)；
3x32 右边?xy(2y2???(xy)x)?y2?x2y??(xy)， 所以 左边=右边，题目得证。 3x3注： 本题中对抽象函数?(xy)应用了一元复合函数求导法则。
?3z★★8. 设z?xln(xy)，求
?x2?y解：
?3z及
?x?y2。
?z1?ln(xy)?x??y?ln(xy)?1, ?xxy?2z11?3z??y?，?2?0； 2?xxyx?x?y?2z11?3z1 ??x?,????x?yxyy?x?y2y2
§8.3 全微分及其应用
内容概要 定义如果函数z为?z?f(x,y)在点(x,y)的全增量?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)可表示，则称函?A?x?B?y?o(?)，其中A,B与?x,?y无关，??(?x)2?(?y)2 全微及其应用 数在点(x,y)可微，全微分dz?A?x?B?y。 质 （1）若函数z?f(x,y)在(x,y)可微，则z?f(x,y)在(x,y)连续 ?f(x,y)在(x,y)可微，则lim??0（2）若函数z?z?dz??0；从而若lim??0?z?dz??0，则分 性函数z?f(x,y)在(x,y)不可微。 ?f(x,y)在(x,y)可微，则z?f(x,y)在(x,y)偏导数存在，且 （3）若函数zdz??z?zdx?dy ?x?y?f(x,y)在(x,y)的某邻域存在偏导数且?z?x，（4）若函数z?z?y在(x,y)连续，则函数在(x,y)可微，且dz?全微分应用 若函数z?z?zdx?dy ?x?y?f(x,y)在(x,y)的某邻域内偏导数fx，fy在(x,y)连续，且|?x|,|?y|都比较小时，有全增量近似公式 ?z函数值近似公式?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y f(x??x,y??y)?f(x,y)?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y 课后习题全解
习题 8-3
1.求下列函数的全微分： ★（1）z?3x2y?xy；
知识点：全微分。
思路：求出函数的偏导数，代入全微分公式 dz??z?zdx?dy。 ?x?y解：
?z1?6xy?,?xy?zx?3x2?2 ?yy1x)dx?(3x2?2)dy yy 所以 dz?(6xy?★★（2）
z?sin(xcosy)；
解：
?z?cos(xcosy)cosy,?x?z?cos(xcosy)(?xsiny) ?y所以 dz?cos(xcosy)cosydx?xsinycos(xcosy)dy ?xyz；
★★★（3）u解：
?u?yzxyz?1,?x?u?u?xyzlnx?z?zxyzlnx,?xyzlnx?y?yxyzlnx ?y?z所以 du?★★2. 求函数
yzxyz?1dx?zxyzlnxdy?yxyzlnxdz
z?ln(2?x2?y2)在x?2,y?1时的全微分。
解：
?z?xx?2y?1?2x2?x2?y2x?2y?14?,7?z?yx?2y?1?2y2?x2?y2x?2y?1?2 7所以 dz?42dx?dy 77★★★3. 设
f(x,y,z)?zxy，求df(1,1,1)
解：
111?11?1?11x11x1xx1xfx?()z??()z,fy?()z?(?2)??()z
zyyyzyzyyyzy1x1x11xxfz?()zln()?(?2)??2()zln()
yyzzyy故
fx(1,1,1)?1,fy(1,1,1)?1,?fz(1,1,1)?0 从而 dz?dx?dy
y在x?2,y?1,?x?0.1,?y??0.2时的全增量?z和全微分dz。 xy??yyy1?,dz??2?x??y 解： ?z?x??xxxx★★4. 求函数z将 x?2,y 全增量 ?z?1,?x?0.1,?y??0.2代入得： 1?(?0.2)1???0.119,2?0.12的近似值
全微分dz???11?0.1??(?0.2)??0.125 222★★5. 计算(1.02)3?(1.97)3知识点：全微分
思路：应用全微分近似计算公式 f(x??x,y??y)?f(x,y)?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y 解： 设 f(x,y)?x3?y3，则要计算的近似值就是该函数在x?1.02,y?1.97时的函数值的近
似值。 取 x?1,y?2,?x?0.02,?y??0.03 3x2,fy(x,y)?3y22x?y333又
fx(x,y)?2x?y333
应用公式
(x??x)?(y??y)?x?y?333x22x?y33?x?3y22x?y33?y
所以 (1.02)?(1.97)?1?2?2.95
33333?1221?2330.02?3?2221?233(?0.03)
?★★ 6. 计算
(1.007)2.98的近似值
知识点：全微分
思路：应用全微分近似计算公式 f(x??x,y??y)?f(x,y)?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y 解： 设f(x,y)?xy，则要计算的近似值就是该函数在x?1.007,y?2.98时的函数值的近似值。
取 x?1,y又
?3,?x?0.007,?y??0.02
fx(x,y)?yxy?1,fy(x,y)?xylnx 所以f(1,3)?1,fx(1,3)?3,fy(1,3)?0,
2.98所以 (1.007)?(1?0.007)3?0.02?1?3?(0.007)?0?(?0.02)?1.021
x?6m与y?8m的矩形，如果边x增加2cm，而边y减少5cm，问这个矩形的
★★7. 已知边长为
对角线的近似变化怎样？
知识点：全微分
思路：应用全微分近似计算公式 ?z?dz??z?z?x??y ?x?y
解：由题意知矩形的对角线为 z? 则有 ?zx2?y2?dz??z?z?x??y， ?x?y，x其中
?zx?zy?,??x?yx2?y2x2?y2?dz??6,y?8,?x?0.02,?y??0.05
所以 ?z68?(0.02)??(?0.05)??0.028 1010即矩形的对角线近似减少2.8cm。
★★8. 用某种材料做一个开口长方体容器，其外形长5m，宽4m，高3m，厚20cm，求所需材料的近
似值与精确值。
解：设容器的长宽高分别为x,y,z，则长方体体积为V?xyz，从而所需材料的精确值为?V 由题意可知，x?5,y?4,z?3,?x??0.4,?y??0.4,?z??0.2
故 精确值?V 近似值?V?5?4?3?4.6?3.6?2.8?13.632(m2)
??dV??(yz?x?xz?y?xy?z)?14.8(m2)
?VI。若测得V=110V，测量的最大绝对误差为2V，
★★9. 有欧姆定律，电流I，电压V及电阻R有关系R测得I=20A，测量的最大绝对误差为0.5A。问由此计算所得到的R的最大误差和最大相对误差是多少？
解： dR? 其中V?R?R1VdV?dI?dV?2dI ?V?III?110,I?20,?1?2,?2?0.5，?1,?2分别为测量电压和电流的绝对误差；
1V1|V|dV|?|?2dI|??1?2?2 II|I|I故 |?R|?|dR|?| ?1110?2?2?0.5?0.2375?0.24 2020又 R?V110dR0.24??5.5， 故 ??0.044?4.4% I20R5.5从而R的最大误差为0.24?，最大相对误差是4.4%。
§8.4 复合函数微分法
内容概要 复 合 函 数 微 分 复合函数中间变量既有导，且复合函数中间变量为多元函数情形 类型 复合函数的中间变量均为一元函数的情形 如果函数u求导法则 ?u(t)及v?v(t)在点t处可导，函数z?f(u,v)在对应点(u,v)出具z?f(u(t),v(t))在对应点有连续偏导数，则复合函数t处可导，且dz?zdu?zdv??dt?udt?vdt如果函数u ?u(x,y)及v?v(x,y)在点(x,y)处可导，函数z?f(u,v)在对应点(u,v)出具有连续偏导数，则复合函数z?f[u(x,y),v(x,y)]在对应点(x,y)处可?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v????， ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y如果函数u?u(x,y)及在点(x,y)处可导函数v?v(y)在y点可导，