§8.7 方向导数与梯度
内容概要 方 方向向 导数 导 数 和 梯 度 记定义 函数性质 1.函数zz?f(x,y)在P(x,y)某领?f(x,y)在P(x,y)处可微，则 为域有定义，l为自点P出发的射线，??(?x)?(?y)22 ，函数?f?f?f?cos??sin?，??l?x?yx轴正向到方f(x,y)在点P导数为 处沿方向l的方向向l的转角。 2.函数u?f(x,y,z)在点M(x,y,z)可微，则 ?ff(x??x,y??y)?f(x?,fy)?f?f?f?lim?cos??cos??cos? ?l??0??l?x?y?z 其中cos?,cos?,cos?为方向l的方向余弦。 梯度 函数函数z?f(x,y)在(x,y)处有一阶连续偏导数，梯度为 ?f??f??f?fgradf(x,y)?i?j?{,} ?x?y?x?y函数函数u?f(x,y,z)在(x,y,z)处有一阶连续偏导数，梯度为 ?f??f??f??f?f?fgradf(x,y,z)?i?j?k?{,,} ?x?y?z?x?y?z注：梯度为一向量：其方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模为方向导数的最大值。
课后习题全解
习题8-7
★★1.求函数u??ln(x?y2?z2)在点M0(0,1,2)处沿向量l?{2,?1,?1}的方向导数。
?211,cos???,cos???666
解：向量
l的方向余弦为 cos?又
?u1?u2y?u2z?,?,??xx?y2?z2?yx?y2?z2?zx?y2?z2?
?u1?u2?u4|M0?,|M0?,|M0? ?x5?y5?z5 （与答案不同）
故
?u122141?4|M0????(?)??(?)??l56565656★★2.求函数
z?ln(x?y)在抛物线y2?4x上的点(1,2)处，沿着此抛物线在该点处偏向x轴正向的
切线方向的方向导数。
解：将y2?4x两边同时对x求导得：2y2dydy2?4，则 ? dxdxy。
?dy?|(1,2)?1，从而方向l的倾角为?? 故点(1,2)在抛物线y?4x上切线斜率为k?dx4 又
?z11?z11??,??
?x?1,2?x?y(1,2)3?y?1,2?x?y(1,2)3 故
?z?z?z12122?[cos??sin?]????? ?l?x?y32323(1,2)?xy?yz?xz在点P(1,2,3)处沿P点的向径方向的方向导数。
★★3.求函数u解：向径OP?{1,2,3}，其方向余弦为 cos???123,cos??,cos??141414
?u?u?u?y?z,?x?z,?y?x ?x?y?z ??u?u?u?5,?4,?x(1,2,3)?y(1,2,3)?x?3
(1,2,3)
?u12322?5??4??3?? ?l14141414★★★4.求函数u?x2?y2?z2在曲线x?t,y?t2,z?t3上点(1,1,1)沿曲线在该点的切线正方向的
方向导数。
解：当t?1时，曲线上点为(1,1,1)
又 曲线x?t,y?t,z?t?23的切向量为T??{x?(t),y?(t),z?(t)}?{1,2t,3t2}
故(1,1,1)处切线的方向为l?{1,2,3}，从而方向余弦为
cos??123,cos??,cos??141414
?u?u?u|(1,1,1)?2x|(1,1,1)?2,|(1,1,1)?2y|(1,1,1)?2,|(1,1,1)?2z|(1,1,1)?2 ?x?y?z??u123126?2??2??2???14 ?l141414147★5.设
f(x,y,z)?x2?3y2?5z2?2xy?4y?8z，求gradf(0,0,0),gradf(3,2,1)。
fz??10z?8
解： fx??2x?2y,fy??6y?2x?4,?fx?(0,0,0)?0,fy?(0,0,0)??4,
fz?(0,0,0)??8 fz?(3,2,1)?2
???fx?(3,2,1)?10,fy?(3,2,1)?14,故 gradf(0,0,0)??4j?8k,??gradf(3,2,1)?10i?14j?2k
★★★6.确定常数
?，使在右半平面x?0上的向量A(x,y)?{2xy(x4?y2)?,?x2(x4?y2)?}
为某二元函数u(x,y)的梯度，其中u(x,y)具有连续的二阶偏导数。
解： 由 gradu?{?u?u,}?{2xy(x4?y2)?,?x2(x4?y2)?} ?x?y故
?u?u?2xy(x4?y2)?,??x2(x4?y2)? ?x?y?2u?2u又u(x,y)具有连续的二阶偏导数，故 ??x?y?y?x即 2x(x4?y2)??4?xy2(x4?y2)??1??2x(x4?y2)??4?x5(x4?y2)??1
4整理得 4x(x★★7.求函数u?y2)?(??1)?0，由x?0，得 ???1。
?x2?y2?z2在点M1(1,0,1),M2(0,1,0)的梯度之间的夹角。
?u?2y,?y?u??2z ?z解：
?u?2x,?x故gradu(M1)?{2,0,?2},gradu(M2)?{0,2,0}
又 gradu(M1)?gradu(M2)?{2,0,?2}?{0,2,0}?0
故gradu(M1)?gradu(M2)，从而两梯度的夹角为
★★★8.设函数u?。 2，试讨论在空间哪些点处等式
?ln1222，其中r?(x?a)?(y?b)?(z?c)r|gradu|?1成立。
解：u??lnr,r?故
(x?a)2?(y?b)2?(z?c)2 ?u12(x?a)x?a?????2， ?xr2(x?a)2?(y?b)2?(z?c)2rz?c?uy?b?u??2 ??2，?zr?yr同理可得
所以gradu?{?u?u?ux?ay?bz?c,,}?{?2,?2,?2} ?x?y?zrrr(x?a)2?(y?b)2?(z?c)21?2 |gradu|?4rr若|gradu|?1，则r?1，即在空间球面(x?a)2?(y?b)2?(z?c)2?1上|gradu|?1。
§8.8多元函数的极值
内容概要 多 元 函 数 极 值 多 元 函 数 极 则称函数在点(x0,y0)取值 得极大（小）值，(x0,y0)为极值点。 令函数定义 性质 z?f(x,y)在点1.（必要条件）函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处具有连续偏导(x0,y0)某领域内有定义，对领域内任一异于数，且在点(x0,y0)有极值，则必有 fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0。 （可推广至多元函数） 2.（充分条件）函数z(x0,y0)的点(x,y)，如果f(x,y)?f(x0,y0)?f(x,y)在点(x0,y0)处具有二阶连续，偏导数，且 (f(x,y)?f(x0,y0))fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0， fxx(x0,y0)?A,fxy(x0,y0)?B,fyy(x0,y0)?C2，则（1）当AC?B?0时，函数在(x0,y0)处有极值，且A?0时有极小值，A?0时有极大值。 （2）当AC?B2?0时，函数在(x0,y0)处没有极 AC?B2?0时，不确定。 （3）当条件极值 求函数u?f(x,y,z)在条件?(x,y,z)?0下的极值的方法： ?z(x,y)，代入目标函数，按方法一：化为无条件极值。即在方程?(x,y,z)?0下解出z无条件极值计算。 方法二：拉格朗日乘子法。即作辅助函数L(x,y,z,?)?f(x,y,z)???(x,y,z) ?Lx?fx(x,y,z)???x(x,y,z)?0?L?f(x,y,z)???(x,y,z)?0?yyy由?解出可能极值点(x0,y0,z0)，而后判断是否为所?Lz?fz(x,y,z)???z(x,y,z)?0??(x,y,z)?0?求。 注：若约束条件不止一个，可增加拉格朗日乘子。 如：函数u?f(x,y,z)在条件?(x,y,z)?0，?(x,y,z)?0下的极值， f(x,y,z)???(x,y,z)???(x,y,z) 则作辅助函数L(x,y,z,?,?)?
课后习题全解
习题8-8
★★1.求函数
f(x,y)?x3?y3?3xy的极值。
知识点：多元函数极值
思路：解方程组fx(x,y)?0,fy(x,y)?0得出函数的驻点，然后求出函数二阶偏导数，确定驻点处
A,B,C 的值，依据AC?B符号判定是否为极值点。
2??fx?3x?3y?0(1)解：解方程组 ?
2??fy??3y?3x?0(2)2由(1)得
y?x2，代入(2)得 x(x3?1)?0，故 x?0,x??1
故有两驻点 (0,0),(?1,1)