?usinv?u?cosv； ?u?u?xe(sinv?cosv)?1?ye(sinv?cosv)?1?vcosv?eu?vsinv?eu同理可得 ：； ?u?u?xue(sinv?cosv)?u?yue(sinv?cosv)?u★★★11.设
ex?yd2yy[(x?1)2?(y?1)2] ?xy，证明： 2??dxx2(y?1)3证：方程两边同时取对数 x?y?lnx?lny
设 F(x,y)?11x?y?lnx?lny，得 Fx??1?,Fy??1?
xy故
F?y(1?x)dy ??x?dxFy?x(y?1)(dydy(1?x)?y)x(y?1)?y(1?x)(y?1?x)dyy(1?x)dxdx ??()? xdx2x(y?1)x2(y?1)22y(1?x)dyx(x?1)?y(y?1)x(x?1)?y(y?1)x(y?1)dx?? 2x(y?1)2x2(y?1)2y[(x?1)2?(y?1)2]。得证。 ??x2(y?1)3注：本题也可以按一元函数隐函数求导法则来求解。
§8.6 微分法在几何上的应用
内容概要 微 分 法 在 几 何 上 空间曲线的 的切线与应 法平面 法平面方程为 x?(t0)(x?x0)?记x(t0)?（1）曲线的参数方程为x?x(t),y?y(t),z?z(t)，三个函数均可导，导数不全为??零。则曲线在某点t0处的切向量为T?{x?(t0),y?(t0),z?(t0)} x0,y(t0)?y0,z(t0)?z0，则切线方程 x?x0y?y0z?z0??x?(t0)y?(t0)z?(t0) y?(t0)(y?y0)?z?(t0)(z?z0)?0 用 ?y?y(x)（2）曲线的方程为?，y?y(x),z?z(x)在x0可导，则曲线在某点z?z(x)???(x0,y0,z0)处的切向量为T?{1,y?(x0),z?(x0)}， 则切线方程 x?x0y?y0z?z0 ??1y?(x0)z?(x0)法平面方程为 x?(t0)(x?x0)?y?(t0)(y?y0)?z?(t0)(z?z0)?0 （3）曲线方程为??F(x,y,z)?0，F,G具连续偏导数，则曲线在点M0(x0,y0,z0)?G(x,y,z)?0,M0??FyFz处切向量为T?{GyGz则切线方程为FzGz?FxGxM0,FxGx?FyGyM0}， x?x0FyFzGyGzM0y?y0FzFxGzGxM0z?z0FxFyGxGyM0 法平面方程为FyGy 空间曲面的切平面与法线 FzGzM0(x?x0)?FzGzFxGxM0(y?y0)?FxGxFyGyM0(z?z0)?0 （1）曲面方程为F(x,y,z)?0，则曲面在点M0(x0,y0,z0)处法向量为 ?n?{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}，则切平面方程为 Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0 法线方程为 x?x0y?y0z?z0 ??Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)?f(x,y)则曲面在点P0(x0,y0)处的法向量为 （2）曲面方程为z?n?{?fx(x0,y0),?fy(x0,y0),1} 切平面方程为 fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?y0)?(z?z0)?0或 fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?y0)?z?z0 （上式表明函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分，在几何上表示曲面z?f(x,y)在点(x0,y0)处的切平面上点的竖坐标的增量。） 法线方程为 x?x0y?y0z?z0??fx(x0,y0)fy(x0,y0)?1
课后习题全解
习题8-6
★1.求曲线
x?t1?t,y?,z?t2在t?2处的切线方程与法平面方程。 1?tt 解： x?(t)?11?,y(t)??,z?(t)?2t 22(1?t)t2311,y?,z?4，x?(2)?,y?(2)??,z?(t)?4 3294??13故 曲线在t?2处的切向量 T?{x?(2),y?(2),z?(t)}?{,,4}
9423x?y?3?2?z?4 于是，所求切线方程为 114?941213法平面方程为 (x?)?(y?)?4(z?4)?0
9342又 t?2时 x?★★2.求曲线
y2?2mx,z2?m?x在点(x0,y0,z0)处的切线方程及法平面方程。
m1,z?(x0)??y02z0
解： 由题设可知 2yy?(x)?2m,2zz?(x)??1，故 y?(x0)???m1故曲线在点(x0,y0,z0)处的切向量 T?{1,y?(x0),z?(x0)}?{1,,?}
y02z0于是，所求切线方程为
x?x0y?y0z?z0??m11?y02z0
法平面方程为 (x?x0)?m1(y?y0)?(z?z0)?0 y02z0在点M0(0,0,a)处的切线方程与法平面方程。
?x2?y2?z2?a2?★★★3.求曲线?22??x?y?ax222解：设F(x,y,z)?x?y?z?a，G(x,y,z)?x?y?ax 则 Fx|M0?2x|M0?0,Fy|M0?2y|M0?0,Fz|M0?2z|M0?2a,
222Gx|M0?(2x?a)|M0??a,Gy|M0?2y|M0?0,Gz|M0?0 FyGyFzGzM0FzFx02a??0,00GzGxM0FxFy2a02???2a,0?aGxGyM000??0 ?a0??2故曲线在点M0(0,0,a)处的切向量为T?{0,?2a,0}
故所求切线方程为??x?02，法平面方程为?2a(y?0)?0，即y?0。
?z?a★★4．找出曲线
x?t,y?t2,z?t3上的点，使在该点的切线平行于平面x?2y?z?4。
知识点：空间曲线的切线 T?{x?(t),y?(t),z?(t)}、数量积、平面法向量
思路：先求出曲线的切向量，再求出平面的法向量，已知切线平行于平面从而垂直于法向量，利用向量垂
直的条件的出所求点对于的参数值，然后代入曲线方程即可。
解：设该点为M(x0,y0,z0)，其对应参数 t?t0
又x?(t)?1,y?(t)?2t,z?(t)?3t，故该点的切线向量为T2?{1,2t0,3t02}
?? 平面x?2y?z?4的法向量为 n?{1,2,1}，由题意有 n?T? 故 n?T?0,即 1?4t0?3t02?0 解得： t0??1或t0??111,,?) 39271 3 从而 所求点为 M(?1,1,?1)或 M(?★★5．求曲面
x2?y2?z2?1上平行于平面x?y?2z?0的切平面方程
知识点：空间曲面的切平面方程、向量平行条件 思路：先求出空间曲面切平面的法向量表达式，
解：设 F(x,y,z)?x2?y2?z2?1，则Fx?2x,Fy?2y,Fz?2z
?设切点为M(x0,y0,z0)，曲面在点M处的法向量为n?{2x0,2y0,2z0}
??又切平面和已知平面平行，所以切平面的法向量和平面的法向量n1?{1,?1,2}平行
故
2x02y02z0??1?12，又 x02?y02?z02?1
所以切点为 (?112,?,?) 故切平面方程为 6661?(x?112)?1?(y?)?2?(z?)?0 即x?y?2z??6。 666★6.求曲面
z?x2?y2在点(1,1,2)处的切平面方程与法线方程。
解：这里
?f(x,y)?x?y，则切平面的法向量公式为 n?{fx,fy,?1}?{2x,2y,?1}
22? 从而在点(1,1,2)处的法向量为 n?{2,2,?1}
故切平面方程为 2(x?1)?2(y?1)?1(z?2)?0 即 2x?2y?z?4?0 法线方程为
x?1y?1z?2?? 22?1 ★★★7.证明：曲面F(nx?lz,ny?mz)?0在任意一点出的切平面都平行于直线
x?1y?2z?3?? 其中F具有连续的偏导数。 lmn知识点： 空间曲面的切平面、多元隐函数偏导
???思路：先根据隐函数微分法求出曲面上点的法向量n，然后根据向量数量积验证n与直线方向向量s是否
垂直。
证：设G(x,y,z)?F(nx?lz,ny?mz)，u?nx?lz,v?ny?mz，
则Gx?nFu,Gy?nFv,Gz??lFu?mFv
??曲面上任一点处的法向量为 n?{nFu,nFv,?lFu?mFv}
???又已知直线的方向向量为s?{l,m,n}，且n?s?nlFu?mnFv?n(?lFu?mFv)?0 ??故n?s，从而曲面F(nx?lz,ny?mz)?0在任意一点出的切平面都平行于已知直线。
★★★8.证明曲面方程
xyz?a3（a?0，常数）上任意点处的切平面与三个坐标面所形成的四面体的体
积为常数。
知识点：空间曲面的切平面，四面体体积。
思路：先求出曲面在任一点处的切平面，然后求出切平面的截距式方程，求出截距，再求四面体体积。 证：设F(x,y,z)?xyz?a3，则Fx?yz,Fy?xz,Fz?xy
曲面上任取一点M(x0,y0,z0)，则曲面在该点的法向量为n?{y0z0,切平面方程为
x0z0,x0y0}
y0z0(x?x0)?x0z0(y?y0)?x0y0(z?z0)?0
xyz???1， 3x03y03z0?1273|3x0?3y0?3z0|?a66(?x0y0z0?a3) 得证。
从而截距式方程为
故四面体体积为V