交于点M3；……依此类推，这样作的第n 个正方形对角线交点Mn的坐标为 .
【答案】?1???11?,? 2n2n?38．（2010内蒙呼和浩特）如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C?处，BC?交AD于点E，AD = 8，AB = 4，则DE的长为 ．
【答案】5 三、解答题 1．（2010安徽省中中考）如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC ⑴求证：四边形BCEF是菱形
⑵若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE
【答案】
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2．（10湖南益阳）如图7，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E． DC(1) 求∠ABD 的度数； (2)求线段BE的长．
O
60?
AEB
【答案】解:⑴ 在菱形ABCD中,AB?AD，?A?60?
∴?ABD为等边三角形
∴?ABD?60? ……………………………4分
⑵由（1）可知BD?AB?4
又∵O为BD的中点
∴OB?2 ……………………………6分 又∵OE?AB，及?ABD?60? ∴?BOE?30?
∴BE?1 ……………………………8分
3．（10湖南益阳）我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形
环”，易知方形环四周的宽度相等. ．．．．
一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M'、N'、N．小明在探究线段MM'与N'N 的数量关系时，从点M'、N'向对边作垂线段M'E、N'F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题： ⑴当直线l与方形环的对边相交时（如图8?1），直线l分别交AD、A?D?、B?C?、BC于M、M'、N'、N，小明发现MM'与N'N相等，请你帮他说明理由； ⑵当直线l与方形环的邻边相交时（如图8?2），l分别交AD、A?D?、D'C?、DC于M、M'、N'、N，l与DC的夹角为?，你认为MM'与N'N还相等吗？若 相等，说明理由；若不相等，求出
图7MM'的值（用含?的三角函数表示）. N'ND
【答案】
DD'C'N'CNFD'M'A'N'?(NlClC'EMEMAM'A'B'FB'BBA图8?1图8?2⑴解: 在方形环中，
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∵M?E?AD,N'F?BC,AD∥BC
∴M?E?N'F,?M?EM??N'FN?90,?EMM???N'NF
? ∴△MM'E≌△NN'F
∴MM??N'N ……………………………5分
⑵解法一：∵?NFN???MEM??90?,?FNN???EM?M?? ∴?NFN?∽?M?EM ……………………………8分
MM?M?E ?N'NNF ∵M?E?N?F
MM'N?Fsin? ∴）……………………………10分 ??tan? （或
cos?N'NNF ∴
①当??45时，tan?=1,则MM??NN? ②当??45时，MM??NN? 则
??MM?sin?） ……………………………12分 ?tan?（或
cos?NN?解法二：在方形环中，
?D?90?
又∵M?E?AD,N'F?CD ∴M?E∥DC,N'F?M?E ∴?MM?E??N'NF?? 在Rt?NN?F与Rt?MM?E中，
N'FM?E ,cos??NN?MM?sin?N'FMM?MM? tan ?????cos?NN?M?ENN?MM?sin? 即 ） ……………………………10分 ?tan?（或
?cos?NN sin?? ①当??45时，MM??NN? ②当??45时，MM??NN? 则
??MM?sin?） ……………………………12分 ?tan?（或
cos?NN?4．（2010江苏南京）（8分）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从
点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。
（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。
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【答案】
5．（2010辽宁丹东市） 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一
点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长． A
E
D
F B
第20题图
C
【答案】解：在Rt△AEF和Rt△DEC中， ∵EF⊥CE， ∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠ECD． 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 3分
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又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC
∴Rt△AEF≌Rt△DCE． 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 5分 AE=CD． 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 6分 AD=AE+4．
∵矩形ABCD的周长为32 cm，
∴2（AE+AE+4）=32． 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 8分 解得， AE=6 （cm）． 10分 6．（2010山东济宁）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，交边AB的延E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，
长线于N.当CP?6时，EM与EN的比值是多少？
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平
DFDE行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则可得：，?FCEP因为DE?EP，所以DF?FC.可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值.
(1) 请按照小明的思路写出求解过程.
(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP?MN的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由. 【答案】
（1）解：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于点F，G，
则
(第22题)
DFDEEMEF，，GF?BC?12. ??FCEPENEG∵DE?EP，∴DF?FC. 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 2分
11∴EF?CP??6?3，EG?GF?EF?12?3?15.
22∴
EMEF31???. 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 4分 ENEG155（2）证明：作MH∥BC交AB于点H， 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 5分
则MH?CB?CD，?MHN?90?. ∵?DCP?180??90??90?， ∴?DCP??MHN.
∵?MNH??CMN??DME?90???CDP，?DPC?90???CDP， ∴?DPC??MNH.∴?DPC??MNH.〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 7分 ∴DP?MN. 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 8分
A D
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E
H B M C
P