A42B1EF3DC24题图G（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）若∠AGB=30°，求EF的长.
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD
在△ABE和△DAF中
??2??1??AB?DA ??4??3?∴△ABE≌△DAF-----------------------4分
（2）∵四边形ABCD是正方形
∴∠1+∠4=900 ∵∠3=∠4
∴∠1+∠3=900
∴∠AFD=900----------------------------6分 在正方形ABCD中， AD∥BC ∴∠1=∠AGB=300
在Rt△ADF中，∠AFD=900 AD=2
∴AF=3 DF =1----------------------------------------8分 由(1)得△ABE≌△ADF ∴AE=DF=1
∴EF=AF-AE=3?1 -----------------------------------------10分
14．（2010山东聊城）如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等
边△ADE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
AFEBD第22题图
C
【答案】（1）在等边△ABC中，∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30o，又∵等边△ADE，∴∠DAE＝60o，∴∠CAE＝30o
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（2）在等边△ABC中，∵F是AB边的中点，D是BC边的中点，∴CF＝AD，∠CFA＝90o，又∵AD＝AE，∴AE＝CF，由（1）知∠CAE＝30o，∴∠EAF＝60o+30o＝90o，∴∠CFA＝∠EAF，∴CF∥AE，∵AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵∠CFA＝90o，∴四边形AFCE是矩形． 15．（2010湖南长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求?EFD的度数．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC
又∵AC为对角线，E为AC上一点， ∴∠BCE＝∠DCE＝45°． ∵EC＝EC,
∴△BEC≌△DEC(SAS)；
（2）∵△BEC≌△DEC, ∠BED＝120°, ∴∠BEC＝∠DEC＝60°． ∵∠DAC＝45°， ∴∠ADE＝15°
∴∠EFD＝∠BED－∠ADE＝120°－15°＝105°
16．（2010浙江金华(本题12分)如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为
（3，0）和(0，33）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，
OB，
BA上运动的速度分别为1，3，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置
开 始以
3 (长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与3
OB，
AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线 AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动． 请解答下列问题：
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（1）过A，B两点的直线解析式是 ▲ ；
（2）当t﹦4时，点P的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P与点E重合； （3）① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为
菱形，则t的值是多少？
② 当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】
解：（1）y??3x?33； （2）（0,3），t?y B E F l
A x O P (第24题9； 2（3）①当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图1）
y B P′ E O P (图1)
F G A x
∵OE?FG,EP?FP,∠EOP?∠FGP?90° ∴△EOP≌△FGP，∴OP?PG﹒
又∵OE?FG?FG13?t t,∠A?60°,∴AG?033tan602 而AP?t，∴OP?3?t,PG?AP?AG?t
329 由3?t?t得 t?；
35 当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；
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y B M P E H F P′ 当点P在线段BA上时，
过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图2） ∵OE?BEt33 ?3?t,∴BE?33?t,∴EF?0333tan6019?t， 又∵BP?2(t?6) EF?26 ∴MP?EH? 在Rt△BMP中，BP?cos600?MP 即2(t?6)?19?t45，解得t?． ?726
②存在﹒理由如下：
23,AP?2，OP?1 3将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到 △B?EC（如图3）
∵OB⊥EF，∴点B?在直线EF上，
y B ∵t?2，∴OE?
22C点坐标为（3，3－1）
33Q′ C1 D1 E C Q O P (图3)
F B′ A x 过F作FQ∥B?C，交EC于点Q,
则△FEQ∽△B?EC
由
BEB?ECE32） ???3，可得Q的坐标为（－，
FEFEQE33根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q?（－
2，3）也符合条件。 3 17．（2010江苏泰州）如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°．
(1)求证：AC∥DE；
(2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由．
【答案】⑴在矩形ABCD中，AC∥DE，∴∠DCA=∠CAB，∵∠EDC=∠CAB，
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∴∠DCA=∠EDC，∴AC∥DE； ⑵四边形BCEF是平行四边形．
理由：由∠DEC=90°，BF⊥AC，可得∠AFB=∠DEC=90°， 又∠EDC=∠CAB，AB=CD，
∴△DEC≌△AFB，∴DE=AF，由⑴得AC∥DE，
∴四边形AFED是平行四边形，∴AD∥EF且AD=EF， ∵在矩形ABCD中，AD∥BC且AD=BC， ∴EF∥BC且EF=BC， ∴四边形BCEF是平行四边形． 18．（2010江苏无锡）
（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是
BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN． 下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．
∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE． （下面请你完成余下的证明过程）
AEDNANBMCPBMCP
（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP
的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由． （3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD……X”，请你作出猜想：
当∠AMN= °时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明） 【答案】解：（1）∵AE=MC，∴BE=BM， ∴∠BEM=∠EMB=45°， ∴∠AEM=135°， ∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°
图1 图2
??AEM??MCN,?在△AEM和△MCN中：∵?AE?MC,∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN
??EAM=?CMN,?
（2）仍然成立． 在边AB上截取AE=MC，连接ME ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°， ∴∠ACP=120°． ∵AE=MC，∴BE=BM ∴∠BEM=∠EMB=60°
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