∴∠AEM=120°．
∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°， ∴∠AEM=∠MCN=120°
∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM ∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN (n?2)180?n（3）
19．（2010山东临沂）如图1，已知矩形ABCD，点C是边DE的中点，且AB?2AD. (1)判断?ABC的形状，并说明理由； (2)保持图1中的?ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧）.试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；
（3）保持图2 中的?ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）.试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明.
DCEMBDCENCENA图1A图2BBAM图3D（第25题图）
【答案】解：（1）△ABC是等腰直角三角形。 如图（1）在矩形ABED中，
因为点C是边DE的中点，且AB=2AD, 所以AD=DC=CE=EB, ∠D=∠E=90°.
∴Rt△ADC≌Rt△BEC. ∴AC=BC, ∠1=∠2=45°. ∴∠ACB=90°.
∴△ABC是等腰直角三角形。 （2）DE=AD+BE. 如图（2），在Rt△ADC和Rt△BEC中， ∵∠1=∠CAD=90°, ∠1+∠2=90°. ∴∠CAD=∠2.
又∵AC=BC, ∠ADC=∠CEB=90°, ∴Rt△ADC≌Rt△CEB. ∴DC=BE,CE=AD. ∴DC+CE= BE+AD, 即DE=AD+BE.
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（3）DE=BE-AD. 如图（3），在Rt△ADC和Rt△CEB中，∵∠1+∠CAD=90°, ∠1+∠2=90°， ∴∠CAD=∠2.
又∵∠ADC=∠CBE=90°,AC=CB, ∴Rt△ADC≌Rt△CBE. ∴DC=BE,CE=AD.∴DC-CE=BE-AD, 即DE=BE-AD.
NCD1C2ECMD1E2N12EADM(第25题图3)
BA(第25题图1)BA(第25题图2)B 20．（2010四川宜宾）
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，过点B作BD∥AC，且BD=2AC，连接AD． 试判断△ABD的形状，并说明理由．
AC
B21题图 D
【答案】过点A作AE垂直BD与点E，则四边形ACBE为矩形，所以CB=EA，AC=BE，且BD=2AC，所以BE=ED=AC，在Rt⊿ACB和Rt⊿AED中，
ED=AC，CB=EA，∠ACB=∠AED= 90°，所以Rt⊿ACB≌ Rt⊿AED（SAS）． 所以AB=AD，所以三角形ABD为等腰三角形．
21．（2010湖南衡阳）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：
（1）∠EAF的大小是否有变化？请说明理由． （2）△ECF的周长是否有变化？请说明理由．
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【答案】不变，理由是：在Rt△ABE和Rt△AHE中，AB=AH，AE=AE，所以Rt△ABE∽Rt△AHE，所以HE=BE，同理HF=DF.所以△ECF的周长=EF+CE+CF=BC+DC.可见△ECF的周长等于正方形边长的两倍. 22．（2010 黄冈）（6分）如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。
第18题图
【答案】提示：由∠H＝∠FCE，AH＝CE，∠HAE＝∠FCE可证△HAE≌△CEF，从而
得到 全品中考网 AE＝EF. 23．（2010 山东莱芜）在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE. （1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是 ；
（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是 ；
（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由. A E D
A E D A E A E D D G H G G G H O O O H O H
F C F C B B C B F B F C 图① 图② 图③ 图④
（第23题图）
【答案】解：（1）四边形EGFH是平行四边形． 证明：∵ ABCD的对角线AC、BD交于点O． ∴点O是 ABCD的对称中心． ∴EO=FO，GO=HO．
∴四边形EGFH是平行四边形． （2）菱形．
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（3）菱形． （4）四边形EGFH是正方形．
证明：∵AC=BD，∴ ABCD是矩形． 又∵AC⊥BD， ∴ ABCD是菱形． ∴ ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC． ∵EF⊥GH ，∴∠GOF=90°．∴∠BOG=∠COF．
∴△BOG≌△COF．∴OG=OF，∴GH=EF． 由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF=GH. ∴四边形EGFH是正方形．
24．（2010福建宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为3?1时，求正方形的边长.
A D
N E M B C
【答案】解：⑴∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN. 即∠BMA＝∠NBE. 又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………5分 ⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM＋BM＋CM的值最小.
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形.
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F E N M B C A D
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长. ⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x，则BF＝在Rt△EFC中， ∵EF2＋FC2＝EC2， ∴（
3x2
）＋（x＋x）2＝
22x3x，EF＝. 22?3?1.
?2解得，x＝2（舍去负值）. ∴正方形的边长为2.
25．（2010浙江湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上
的任意一点（不含端点A，D），连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于E． （1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在， 求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．
（第25题）
【答案】（1）存在，理由如下：假设存在这样的点Q，∵FE⊥PC，∴∠APE＋∠DPC＝90°，∵∠D＝90°，
∴∠DPC＋∠DCP＝90°，∴△PAE∽△PDC，∴同理可得AQ?DQ?AE?DC，∴AQD?Q?APDP?2222AEAP，∴AP?DP?AE?DC，?DPCD，即AQ（， ?3?AQ）?AP（?3?AP）∴3AQ?AQ?3AP?AP，∴AP?AQ?3AP?3AQ， ∴ （AP?AQ）（AP?AQ）?（3AP?AQ）∵AP≠AQ，∴AP＋AQ＝3.∵AP≠AQ，∴AP≠
3，即P不能是AD的中点，∴当P是2AD的中点时，满足条件的Q点不存在，故，当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP＋AQ＝3． （2）设AP＝x，BE＝y，则DP＝3－x，AE＝2－y，又PE⊥PC，∴△PAE∽△PDC，
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