7．（2010山东青岛）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．
（1）求证：BE = DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断
四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【答案】
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD,∠B = ∠D = 90°． ∵AE = AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF． ∴BE＝DF． 〃〃〃〃〃〃〃 4分 （2）四边形AEMF是菱形．
A D
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC． F ∵BE＝DF，
∴BC－BE = DC－DF. 即CE?CF． O ∴OE?OF．
E B C ∵OM = OA，
∴四边形AEMF是平行四边形． M 第21题图 ∵AE = AF，
∴平行四边形AEMF是菱形． 〃〃〃〃〃〃〃 8分
8．（2010山东日照）如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）证明：∠BAE=∠FEC； （2）证明：△AGE≌△ECF； （3）求△AEF的面积．
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【答案】
（1）证明：∵∠AEF=90o，
∴∠FEC+∠AEB=90o．………………………………………1分 在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90o，
∴∠BAE=∠FEC；……………………………………………3分 （2）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，
∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180o－45o=135o． 又∵CF是∠DCH的平分线，
∠ECF=90o+45o=135o．………………………………………4分
在△AGE和△ECF中，
?AG?EC,?o??AGE??ECF?135, ??GAE??FEC? ∴△AGE≌△ECF； …………………………………………6分 （3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF．
又∵∠AEF=90o，
∴△AEF是等腰直角三角形．………………………………7分
由AB=a，BE=∴S△AEF=
51a，知AE=a，
2252
a．…………………………………………………9分 89．（2010四川眉山）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由； （2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．
BAOCDE【答案】 解：（1）四边形OCED是菱形．…………（2分）
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，…………（3分） 又 在矩形ABCD中，OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．…………………（4分）
（2）连结OE．由菱形OCED得：CD⊥OE， …………（5分） ∴OE∥BC
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又 CE∥BD
∴四边形BCEO是平行四边形
∴OE=BC=8……………………………………………（7分）
11∴S四边形OCED=OE?CD??8?6?24……………（8分）
22AOBCDE
10．（2010浙江宁波）如图1，有一张菱形纸片ABCD，AC=8， BD=6. (1)请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一 个平行四边形，在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形；若 沿着BD剪开，请在图3中用实线画出拼成的平行四边形.并直接 写出这两个平行四边形的周长.
(2)沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，
(图1) 请在图4中用实线画出拼成的平行四边形.
(注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)
(图2) (图3) (图4)
周长为 ▲ 周长为 ▲
(第21题)
【答案】 解：(1)
1分
周长为26 2分
3分
周长为22 4分
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(2)
6分
注:画法不唯一. 11．（2010浙江绍兴） (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,
CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°. 求证：BE＝CF.
(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,
BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°, EF ＝4.求GH的长.
第23题图1
第23题图2
(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,
∠FOH＝90°,EF＝4. 直接写出下列两题的答案：
①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；
②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).
第23题图3
【答案】
(1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD为正方形，
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第23题图4
第23题图1
∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， ∴ ∠EAB+∠AEB=90°. ∵ ∠EOB=∠AOF＝90°,
∴ ∠FBC+∠AEB=90°，∴ ∠EAB=∠FBC， ∴ △ABE≌△BCF ， ∴ BE=CF． (2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M，
过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/， N 则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形， ∴ EF=BN,GH=AM， ∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠
M
NO/A=90°,
O′
故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴ AM=BN， ∴ GH=EF=4． 第23题图2
(3) ① 8．② 4n． 12．（2010 浙江省温州市）(本题10分)如图，在□ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E．F．已知BE=BP．
求证：(1)∠E=∠F(2)□ABCD是菱形．
【答案】
13．（2010重庆市潼南县）(10分) 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC
延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.
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