2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数 学（理工农医类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ?2i?1．复数??等于（ ）
?1+i?2A．4i B．?4i C．2i D．?2i 2．不等式
x?2x?1≤0的解集是（ ）
A．(??，?1)?(?1，2]
B．[?1，2]
C．(??，?1)?[2，??)
D．(?1，2]
3．设M，N是两个集合，则“M?N??”是“M?N??”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
4．设a，b是非零向量，若函数f(x)?(xa?b)?(a?xb)的图象是一条直线，则必有
A．a⊥b B．a∥b
C．|a|?|b|
D．|a|?|b|
5．设随机变量?服从标准正态分布N(0，1)，已知?(?1.96)?0.025，则P(|?|?1.96)=
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
?4x?4， x≤1，6．函数f(x)??2的图象和函数g(x)?log2x的图象的交点个数是
?x?4x?3，x?1
A．4 B．3 C．2 D．1
7．下列四个命题中，不正确的是（ ） ．．．
A．若函数f(x)在x?x0处连续，则limf(x)?limf(x)
x→x0?x→x0?B．函数f(x)?x?2x?42的不连续点是x?2和x??2
C．若函数f(x)，g(x)满足lim[f(x)?g(x)]?0，则limf(x)?limg(x)
x→?x→?x→?D．limx→1x?1x?1?12
8．棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱
AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（ ）
A．
22
B．1
C．1?22
D．2 22229．设F1，F2分别是椭圆
xa?yb?1（a?b?0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P,使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
?2?A．?0，?
?2?????3?? 3?B．?0，C．???，1? ??2?2D．???，1? ??3?3?，Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对10．设集合M?{1，2，3，4，5，6}， S1，S2，任意的Si?{ai，bi}，Sj?{aj，bj}（i?j，i、j?{1，2，3，?，k}），都有
?ab?min?i，i??min?biai???ajbj??，则k的最大值?，?（min{x，y}表示两个数x，y中的较小者）
??bjaj??是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上。 11．圆心为(1，1)且与直线x?y?4相切的圆的方程是 。
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a?1，b=7，c?则B? 。
13．函数f(x)?12x?x3在区间[?3，3]上的最小值是 。
3，
14．设集合A???x,y?y???1?x?2?，B?2???x,y?y??x?b?，A?B??，
（1）b的取值范围是 ；
（2）若(x，y)?A?B，且x?2y的最大值为9，则b的值是 。
15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，?，第n次全
行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?cos2?x???1π?g(x)?1?sin2x。 ，?212?（I）设x?x0是函数y?f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值； （II）求函数h(x)?f(x)?g(x)的单调递增区间。
17．（本小题满分12分）
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下
岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，
参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响。
（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（II）任选3名下岗人员，记?为3人中参加过培训的人数，求?的分布列和期望。
18．（本小题满分12分）
如图2，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD的中点，G是EF上的一点，将
△GAB，△GCD分别沿AB，CD翻折成△G1AB，△G2CD，并连结G1G2，使得平面
G1AB⊥平面ABCD，G1G2∥AD，且G1G2?AD。连结BG2，如图3。
（I）证明：平面G1AB⊥平面G1ADG2；
（II）当AB?12，BC?25，EG?8时，求直线BG2和平面G1ADG2所成的角。
19．（本小题满分12分）
如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所
??在的山坡面与山脚所在水平面?所成的二面角为?（0???90），且sin??25，点P到
平面?的距离PH?0.4（km）沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用。从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为
a2万元/km．当山坡上公路长度为lkm
2（1≤l≤2）时，其造价为(l?1)a万元。已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB?1.5(km)，
OA?3(km)。
（I）在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；
（II） 对于（I）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小；