（III）在AB上是否存在两个不同的点D?，E?，使沿折线PD?E?O修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论。
20．（本小题满分12分）
已知双曲线x2?y2?2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点。
?????????????????（I）若动点M满足F1M?F1A?F1B?F1O（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方
程；
????????（II）在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若
不存在，请说明理由。
21．（本小题满分13分）
x已知An(an，bn)（n?N*）是曲线y?e上的点，a1?a，Sn是数列{an}的前n项
2223，，4?。 和，且满足Sn?3nan?Sn?1，an?0，n?2，?bn?2?（I）证明：数列??（n≤2）是常数数列；
?bn?（II）确定a的取值集合M，使a?M时，数列{an}是单调递增数列； （III）证明：当a?M时，弦AnAn?1（n?N*）的斜率随n单调递增。
绝密★启用前
2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数 学(理工农医类)
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的. 1．复数(i?)3等于
i1A.8 B.－8 C.8i D.－8i
2．“|x－1|＜2成立”是“x（x－3）＜0成立”的
A．充分而不必要条件
B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ?x?1,?3.已知变量x、y满足条件?x?y?0,则x+y的最大值是
?x?2y?9?0,?A.2 B.5 C.6 D.8
4.设随机变量?服从正态分布N(2,9) ,若P (?＞c+1)=P(?＜c－1?,则c=
A.1
B.2
C.3
D.4
5.设有直线m、n和平面?、?。下列四个命题中，正确的是
A.若m∥?,n∥?,则m∥n
B.若m??,n??,m∥?,n∥?,则?∥? C.若???，m??,则m??
D.若???，m??，m??,则m∥? 6.函数f(x)=sin2x+3sinxcosx在区间?1?23
????,?上的最大值是 ?42?32A.1
B. C. D.1+3
????????????????7.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC?2BD, CE?2EA,
????????????????????????AF?2FB, 则AD?BE?CF与BC
A.反向平行 C.互相垂直 8.若双曲线
xa22
B.同向平行
D.既不平行也不垂直
3a2
?yb22上横坐标为?1（a＞0,b＞0）
的点到右焦点的距离大于它到左准线的
距离，则双曲线离心率的取值范围是
A.(1,2)
B.(2,+?)
C.(1,5)
D. (5,+?)
9.长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2, AD=3, AA1=1, 则顶点A、B间的球面距离是
A. 22?
B.
2?
C.
2?254 D.
2?4
10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［
2］=1），对于给定的n?N*,定义
2Cn?n(n?1)?(n??x??1)，x??1,???,则当x??,3?时，函数Cn的值域是
x(x?1)?(x??x??1)?2??16??3?A.?,28? ?3?C.?4,??
B.??16?,56? ?3???16??28? ?,28???3??3?28????28,56? 3?
D.?4,
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。 11.limx?1x?3x?42x?1?_____ 12.已知椭圆
xa22?yb22?1（a＞b＞0）的右焦点为F，右准线为l，离心率e=55.过顶点A(0,b)
作AM?l,垂足为M，则直线FM的斜率等于____
13.设函数y=f (x)存在反函数y= f（x），且函数y = x－f (x)的图象过点（1，2），则函数 y=f－1(x)－x的图象一定过点 . 14.已知函数f(x)＝3?axa?1(a?1).
－1
（1）若a＞0,则f(x)的定义域是____
(2)若f(x)在区间?0,1?上是减函数，则实数a的取值范围是________ 15. 对有n (n≥4)个元素的总体｛1，2，3，?，n｝进行抽样，先将总体分成两个子总体｛1，2，?，m｝和｛m+1，m+2，?，n｝(m是给定的正整数，且2≤m≤n－2)，再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用Pij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则P1n=________；所有Pif(1≤i＜j≤n?的和等于 ______. 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约。乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是
12，且面试是否合格互不影响。求：
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率; （Ⅱ）签约人数?的分布列和数学期望.
17.（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是
CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小. 18.（本小题满分12分）
数列?an?满足a1?1,a2?2,an?2?(1?cos2n?2)an?sin2n?2,n?1,2,3,?.
(Ⅰ)求a3,a4,并求数列?an?的通项公式； (Ⅱ)设bn?
a2n?1a2nSn?2?,Sn?b1?b2???bn.证明：当n?6时，1n.
19.（本小题满分13分）
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.。点E正北55海里处有一个雷达观测站A。.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45?且与点A相距40
2海里的位置B，经过40分钟又测得该船已
2626行驶到点A北偏东45?+?(其中sin?=，0????90?)且与点A相
距1013海里的位置C.
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解 （I）如图，AB=402，AC=1013，?BAC??,sin??2626.
由于0?
由余弦定理得BC=AB?AC?2AB?AC?cos??105. 105?155（海里/小时）. 23所以船的行驶速度为
（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是 B（x1，y1）, C（x2，y2），BC与x轴的交点为D. 由题设有，x1=y1=
22AB=40，
?x2?ACcos?CAD?1013cos(45??)?30,
y2?ACsin?CAD?1013sin(45??)?20
?所以过点B、C的直线l的斜率k=直线l的方程为y=2x－40.
2010?2,
又点E（0，－55）到直线l的距离d=
20.（本小题满分13分）
若A、B是抛物线y=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.
（Ⅰ）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；
（Ⅱ）试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用
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