PH⊥?，HB??，PB⊥AB，
由三垂线定理逆定理知，AB⊥HB，所以?PBH是 山坡与?所成二面角的平面角，则?PBH??，
PB?PHsin??1
设BD?x(km)，0≤x≤1.5．则
PD?x?PB?22x?1?[1，2]
2记总造价为f1(x)万元， 据题设有f1(x)?(PD?1?2212AD?AO)a?(x?212x?114?3)a
1???43??x??a???416????3?a ?(km)时，总造价f1(x)最小
54当x?14，即BD?14（II）设AE?y(km)，0≤y≤，总造价为f2(y)万元，根据题设有
?2f2(y)??PD?1??y?3?21?31?????ya?????2?24???y?3?2y?43a?a ?2?16??则f2?y?????1???a，由f2?(y)?0，得y?1 2y?32??y当y?(0，1)时，f2?(y)?0，f2(y)在(0，1)内是减函数；
??5?4???5?4?当y??1，?时，f2?(y)?0，f2(y)在?1，?内是增函数
6716故当y?1，即AE?1（km）时总造价f2(y)最小，且最小总造价为（III）解法一：不存在这样的点D?，E?
a万元
事实上，在AB上任取不同的两点D?，E?为使总造价最小，E显然不能位于D? 与
B之间，故可设E?位于D?与A之间，且BD?=x1(km)，AE??y1(km)，
0≤x1?y2≤32，总造价为S万元，则S??x12??x12116y12?x12?y1?3?2y12?11?、 ?a．类似于（I）
4?14（II）讨论知，x12?≥?，y12?3?≥1432，当且仅当x1?，y1?1同时成
立时，上述两个不等式等号同时成立，此时BD??6716(km)，AE?1(km)，S取得最小值
a，点D?，E?分别与点D，E重合，所以不存在这样的点 D?，E?，使沿折线PD?E?O修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价．
解法二：同解法一得
?2xS??x1?1?2?2y1?3?2y12?11??a 4?1?1???x1??a??3?4?4??≥146716?23(2?y1?3?y1?2??432y1?3?y1?a?a
??16?y1?3?y1)(y1?3?y1)?a?24316a
?a
1414当且仅当x1?得最小值
6716且3(y1?3?y1)(y1?3?y1)，即x1?22S取，y1?1同时成立时，
a，以上同解法一。
20．（本小题满分12分）
0)，F2(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 解：由条件知F1(?2，解法一：
?????????（I）设M(x，y)，则则F1M?(x?2，y)，F1A?(x1?2，y1)， ?????????????????????????F1B?(x2?2，y2)，F1O?(2，0)，由F1M?F1A?F1B?F1O得
?x?2?x1?x2?6，?x1?x2?x?4，即? ?y?y?yy?y?y?12?12?x?4y，22??? ?于是AB的中点坐标为?y当AB不与x轴垂直时，
y1?y2x1?x2?2x?42??2yx?8，即y1?y2?yx?8(x1?x2)
22又因为A，B两点在双曲线上，所以x12?y12?2，x2?y2?2，两式相减得
(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)，即(x1?x2)(x?4)?(y1?y2)y
yx?822将y1?y2?(x1?x2)代入上式，化简得(x?6)?y?4
当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(8，0)，也满足上述方程 所以点M的轨迹方程是(x?6)2?y2?4
????????（II）假设在x轴上存在定点C(m，0)，使CA?CB为常数
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)
代入x?y?2有(1?k)x?4kx?(4k?2)?0
222222则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1?x2?4k22k?1，x1x2?4k?2k?122，
????????2于是CA?CB?(x1?m)(x2?m)?k(x1?2)(x2?2)
?(k?1)x1x2?(2k?m)(x1?x2)?4k?m
2222?(k?1)(4k?2)k?1222?4k(2k?m)k?1222?4k?m
22?2(1?2m)k?2k?122?m?2(1?2m)?24?4mk?122?m
????????????????因为CA?CB是与k无关的常数，所以4?4m?0，即m?1，此时CA?CB=?1
当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为(2，2)，(2，?????????2)，
此时CA?CB?(1，2)?(1，?2)??1
????????故在x轴上存在定点C(1，0)，使CA?CB为常数
解法二：
?x1?x2?x?4，（I）同解法一的（I）有?
?y1?y2?y当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)
代入x2?y2?2有(1?k2)x2?4k2x?(4k2?2)?0
则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1?x2?4k22k?1
?4k2?4ky1?y2?k(x1?x2?4)?k??4??2
k?1k?1??4k22由①②③得x?4?k?1???????????????????④
y?4kk?12??????????????????????????⑤
当k?0时，y?0，由④⑤得，
x?4y?k，将其代入⑤有
4?y?x?4y22(x?4)y??14y(x?4)(x?4)?y22．整理得(x?6)?y?4。
22当k?0时，点M的坐标为(4，0)，满足上述方程
当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(8，0)，也满足上述方程。 故点M的轨迹方程是(x?6)2?y2?4。
????????（II）假设在x轴上存在定点点C(m，0)，使CA?CB为常数，
当AB不与x轴垂直时，由（I）有x1?x2?以上同解法一的（II）。
21．（本小题满分13分）
4kk22?1，x1x2?4k?2k?122。
222解：（I）当n≥2时，由已知得Sn?Sn?1?3nan
2因为an?Sn?Sn?1?0，所以Sn?Sn?1?3n ??①
2于是Sn?1?Sn?3(n?1) ??②
由②－①得an?1?an?6n?3 ??③ 于是an?2?an?1?6n?9 ??④ 由④－③得an?2?an?6， ?? ⑤
an?2an所以
bn?2bn?ee?ean?2?an?bn?2??e，即数列??(n≥2)是常数数列
b?n?6（II）由①有S2?S1?12，所以a2?12?2a．由③有a3?a2?15，a4?a3?21，所以a3?3?2a，a4?18?2a
而 ⑤表明：数列{a2k}和{a2k?1}分别是以a2，a3为首项，6为公差的等差数列，