解答： 解：∵AB=3，△PDE是等边三角形， ∴PD=PE=DE=1，
以DE的垂直平分线为y轴建立直角坐标系， ∵△PDE关于y轴对称， ∴PF⊥DE，DF=EF，DE∥x轴， ∴PF=
，
∴△PFM∽△PON， ∵m=∴FM=
， ﹣，
∴=，即=．
，
[www.z%^@zs~tep.co*m]
解得：ON=4﹣2故选A．
点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质及等边三角形的性质，能根据题意得出FM的长是解答此题的关键．
17. （2015?齐齐哈尔,第10题3分）如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM=DN；②S△CDN=S
四边形ABDN
；③DE=DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（ ）
中国~@^教#&育出版网
来源:^中%教@#网 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．
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分析： ①首先根据D是BC中点，N是AC中点N，可得DN是△ABC的中位线，判断出DN=
；然后判断出EM=
，即可判断出EM=DN；
，可得S△CDN=S△ABC，所以
②首先根据DN∥AB，可得△CDN∽ABC；然后根据DN=S△CDN=S四边形ABDN，据此判断即可．
③首先连接MD、FN，判断出DM=FN，∠EMD=∠DNF，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△EMD≌△DNF，即可判断出DE=DF．
来源~:*&中%@教网④首先判断出，DM=FA，∠EMD=∠EAF，根据相似计三角形判定的方法，判断出△EMD∽△∠EAF，即可判断出∠MED=∠AEF，然后根据∠MED+∠AED=45°，判断出∠DEF=45°，再根据DE=DF，判断出∠DFE=45°，∠EDF=90°，即可判断出DE⊥DF． 解答： 解：∵D是BC中点，N是AC中点， ∴DN是△ABC的中位线， ∴DN∥AB，且DN=
；
来源~&:中@^教%网][w~ww.zzs*tep^&.co@m]
∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB交AB于点M， ∴M是AB的中点， ∴EM=又∵DN=∴EM=DN， ∴结论①正确；
∵DN∥AB， ∴△CDN∽ABC， ∵DN=
， ， ，
[ww*w.z~z#st%ep.com@]∴S△CDN=S△ABC，
来源^&:*@中教网%]第 12 页 共 52 页
∴S△CDN=S四边形ABDN， ∴结论②正确；
如图1，连接MD、FN，
∵D是BC中点，M是AB中点，
中国教育~@出版网#]， ∴DM是△ABC的中位线，
中国#*%教育出版网∴DM∥AC，且DM=；
来源*:中国%教育^&出版网
∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点， ∴FN=又∵DM=∴DM=FN， ∵DM∥AC，DN∥AB，
， ，
来&源中国%教育出版网#]∴四边形AMDN是平行四边形， ∴∠AMD=∠AND， 又∵∠EMA=∠FNA=90°， ∴∠EMD=∠DNF，
来源中^%国教育出版网#&]在△EMD和△DNF中，
，
来源&%:~^中教@网∴△EMD≌△DNF， ∴DE=DF，
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∴结论③正确；
如图2，连接MD，EF，NF，
∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，
来源^:*&@中教网，
∴M是AB的中点，EM⊥AB，
∴EM=MA，∠EMA=90°，∠AEM=∠EAM=45°，∴
，
来#~@源:*zzste&p.com][来~%#源:*中&教网∵D是BC中点，M是AB中点， ∴DM是△ABC的中位线，∴DM∥AC，且DM=
来源:zz~s#&tep@.com^]； ∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点， ∴FN=又∵DM=∴DM=FN=，∠FNA=90°，∠FAN=∠AFN=45°， ， FA，
∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD， ∠EAF=360°﹣∠EAM﹣∠FAN﹣∠BAC =360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣∠AMD） =90°+∠AMD
来源:*中国教育出版网@^%]∴∠EMD=∠EAF， 在△EMD和△∠EAF中，
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∴△EMD∽△∠EAF， ∴∠MED=∠AEF，
来源:zzs@tep.^&#com]∵∠MED+∠AED=45°， ∴∠AED+∠AEF=45°， 即∠DEF=45°，又∵DE=DF， ∴∠DFE=45°，
∴∠EDF=180°﹣45°﹣45°=90°，
来源中教@~网%^]中国教育出版&*^#@网
∴DE⊥DF，
来~#源:%中国教育出版网
∴结论④正确．
中@#国教育出~&版网∴正确的结论有4个：①②③④． 故选：D．
来源中*@教网&#~][来源中&~#^教网 点评： （1）此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径．
（3）此题还考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
来源%:zzs#tep&@.com]来源:zzs*#t~e%^p.com][ww~w.%z^zstep.c#*om]
二、填空题
1. （2015?辽宁省朝阳,第16题3分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=，BO=1，AB的垂直平分线交AB于点E，交射线BO于点F．点P从点A出发沿射线AO以每秒2个单位的速度运动，同时点Q从点O出发沿OB方向以每秒1个单位的速度运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动的时间为t秒．
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