∴DE=BC，
∴S△DEF：S△BCF=1：4， ∵S△DEF=a，∴S△BCF=4a，故答案为：4a．
点评： 本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方．
三、解答题
1. （2015?黑龙江省大庆,第27题9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD． （1）证明：AB=CD；
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中%国教*~育出版网@]（2）证明：DP?BD=AD?BC；
（2）证明：BD2=AB2+AD?BC．
来源&#@^:中教网
考点： 相似三角形的判定与性质；圆周角定理． 专题： 证明题． 分析： （1）利用平行线的性质结合圆周角定理得出=
，进而得出答案；
（2）首先得出△ADP∽△DBC，进而利用相似三角形的性质得出答案；
（3）利用相似三角形的判定方法得出△ABP∽△DBA，进而求出AB2=DB?PB，再利用（2）中所求得出答案．
解答： 证明：（1）∵AD∥BC，
来%源^#*:中教&网∴∠ADB=∠BDC，∴
=
，
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来源中国教*#育^&出版%网第 26 页 共 52 页
∴AB=BC；
（2）∵∠APB=∠BAD，∠BAD+∠BCD=180°，∠APB+∠APD=180°， ∴∠BCD=∠APD， 又∵∠ADB=∠CBD， ∴△ADP∽△DBC， ∴
=
，
∴DP?BD=AD?BC；
（3）∵∠APB=∠BAD，∠BAD=∠BPA， ∴△ABP∽△DBA， ∴
=
，
∴AB2=DB?PB，
∴AB2+AD?BC=DB?PB+AD?BC ∵由（2）得：DP?BD=AD?BC，
∴AB2+AD?BC=DB?PB+DP?BD=DB（PB+DP）=DB2， 即BD2=AB2+AD?BC． 点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．
2. （2015?辽宁省盘锦,第23题12分）如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠ABC．
（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径； （2）求证：直线BF是⊙O的切线；
（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．
[w*ww.z@%z~step.c^om]
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来源:^*中&%教网@]
考点： 圆的综合题．
分析： （1）根据垂径定理求得PC，连接OC，根据勾股定理求得即可； （2）求得△PBC∽△BFA，根据相似三角形对应角相等求得∠ABF=∠CPB=90°，即可证得结论；
（3）通过证得AE=BF，AE∥BF，从而证得四边形AEBF是平行四边形． 解答： （1）解：CD⊥AB，
来源:z#zstep%.&c~om^]中国*&教育出版@网来源%:*中国教&育出版网#]∴PC=PD=CD=，
连接OC，设⊙O的半径为r，则PO=PB﹣r=4﹣r， 222
在RT△POC中，OC=OP+PC， 即r=（4﹣r）+（
2
2
），解得r=2
．
[www.*z@z&step.~c^om]
（2）证明：∵∠A=∠C，∠F=∠ABC， ∴△PBC∽△BFA， ∴∠ABF=∠CPB， ∵CD⊥AB，
∴∠ABF=∠CPB=90°，
∴直线BF是⊙O的切线；
（3）四边形AEBF是平行四边形；
理由：解：如图2所示：∵CD⊥AB，垂足为P， ∴当点P与点O重合时，CD=AB， ∴OC=OD， ∵AE是⊙O的切线， ∴BA⊥AE， ∵CD⊥AB， ∴DC∥AE， ∵AO=OB，
∴OC是△ABE的中位线， ∴AE=2OC，
∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC． ∴∠D=∠F， ∴CD∥BF， ∵AE∥BF， ∵OA=OB，
∴OD是△ABF的中位线，
[www.z#@zs%tep.^com*]
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∴BF=2OD， ∴AE=BF，
∴四边形AEBF是平行四边形．
[www.#&zzst%e~p.c@om]
点评： 本题考查了切线的判定，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，三角形的中位线的性质，平行四边形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 3. （2015?内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第24题8分）（2015?呼伦贝尔）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）求证：AB=AC； （2）若PC=2，求⊙O的半径．
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考点： 切线的性质．
分析： （1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可； （2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，根据AB=AC
推出5﹣r=（2
22
）﹣（5﹣r），求出r，证△DPB∽△CPA，得出
22
=，代入求出即
可．
解答： 证明：（1）如图1，连接OB．
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∵AB切⊙O于B，OA⊥AC， ∴∠OBA=∠OAC=90°， ∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°， ∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB， ∵∠OPB=∠APC， ∴∠ACP=∠ABC， ∴AB=AC；
（2）如图2，延长AP交⊙O于D，连接BD， [www.zz^s%~t@ep.#com] 设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，
22222
则AB=OA﹣OB=5﹣r， 22222AC=PC﹣PA=（2）﹣（5﹣r），2222
∴5﹣r=（2）﹣（5﹣r）， 解得：r=3， ∴AB=AC=4， ∵PD是直径， ∴∠PBD=90°=∠PAC， 又∵∠DPB=∠CPA， ∴△DPB∽△CPA，
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[ww*&w.zzste^#p.co@m]来源:*%zzst@ep.c&^om]来源&:中国%教育^*出版网 ∴∴
==
，
， ．
．
解得：PB=
∴⊙O的半径为3，线段PB的长为
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