2001年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.
(2)r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)= _____________. (3)交换二次积分的积分次序:?01?y?1dy?2f(x,y)dx＝_____________.
(4)设A2?A?4E?O,则(A?2E)?1= _____________.
(5)D(X)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计P{X?E(X)?2}? _____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)设f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且fx?(0,0)?3,fy?(0,0)?1则 (A)dz|(0,0)?3dx?dy
(B)曲面z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}
(C)曲线 z?f(x,y)在y?0(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}
(D)曲线 z?f(x,y)y?0在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}
(3)设f(0)?0则f(x)在x=0处可导?
(A)limf(1?cosh)h2存在
(B) ?eh)存在
h?0limf(1h?0h(C)limf(h?sinh)h2存在
(D)limf(2h)?f(h)0h?0h存在
h??1111??4000?(4)设?A??1111???,B??0000??,则A与B
?1111??0000???1111????0000??(A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似
(D)不合同且不相似
(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y相关系数为(A) -1 (B)0
(C)12
(D)1
三、(本题满分6分) 求?arctanexe2xdx.
四、(本题满分6分)
设函数z?f(x,y)在点(1,1可)微,且f(1,1)?1,fx?(1,1)?2,fy?(1,1)?3,?(x)?f(x,f(x,x)),求
d六、(本题满分7分) 计算I???L(y?z)dx?(2z?x)dy?(3x?y)d,z其中L是平面 x?y?z?2与柱面x?y?1的交
222222?(x)3. 线,从Z轴正向看去,L为逆时针方向.
dxx?1
五、(本题满分8分)
1?x2设f(x)? xarctaxn x?,将0?f(x)展开成x的幂级数,并求?(?1)n2的和.
1 x?0n?11?4n
七、(本题满分7分)
设f(x)在(?1,1)内具有二阶连续导数且f??(x)?0.证明:
(1)对于?x?(?1,0)?(0,1),存在惟一的?(x)?(0,1),使 f(x)=f(0)+xf?(?(x)x)成立. (2)lim?(x)?0.5.
x?0
八、(本题满分8分)
22设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程z?h(t)?2(x?y)h(t)(设长度单位为厘米,时
间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?
九、(本题满分6分)
设α1,α2,?,αs为线性方程组AX?O的一个基础解系,
β1?t1α1?t2α2,β2?t1α2?t2α3,?,βs?t1αs?t2α1,
其中t1,t2为实常数,试问t1,t2满足什么条件时β1,β2,?,βs也为AX?O的一个基础解系?
十、(本题满分8分)
已知三阶矩阵A和三维向量x,使得x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x?3Ax?2A2x. (1)记P?(x,Ax,A2x),求B使A?PBP?1. (2)计算行列式A?E.
十一、(本题满分7分)
设某班车起点站上客人数X服从参数为?(??0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0?p?1),且
.Y为中途下车的人数,求:
(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率.
(2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.
中途下车与否相互独立十二、(本题满分7分)
设X~N(?,?2)抽取简单随机样本X1,X2,?,X2n(n?2), 样本均值X??2ni?112nnXi,Y??(Xi?1i?Xn?i2?2X),求E(Y).
2002年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)???dxexln2x= _____________.
(2)已知ey?6xy?x2?1?0,则y??(0)=_____________. (3)yy???y?2?0满足初始条件y(0)?1,y?(0)?12的特解是_____________.
(4)已知实二次型f(x2?x221,x2,x3)?a(x12?x3)?4x1x2?4x1x3?4x2x3经正交变换可化为标准型
f?6y21,则a=_____________.
(5)设随机变量X~N(?,?2),且二次方程y2?4y?X?0无实根的概率为0.5,则?=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)考虑二元函数f(x,y)的四条性质:
①f(x,y)在点(x0,y0)处连续, ②f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数连续, ③f(x,y)在点(x0,y0)处可微, ④f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数存在. 则有:
(A)②?③?① (B)③?②?① (C)③?④?①
(D)③?①?④
(2)设u则级数n?1n?0,且limn?u?1,?(?1)(1)为
n?nu?1nun?1(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛
(D)收敛性不能判定.
(3)设函数f(x)在R?上有界且可导,则 (A)当limf(x)?0时,必有limf?(x)?0
(B)当,必有limx???x???limf?(x)存在时x???f?(x)?0
x???(C) 当limf(x)?0时,必有limf?(x)?0 (D) 当limf?(x)存在时,必有limx?0?f?(?x?0?x?0?x)?0.
x?0(4)设有三张不同平面,其方程为aix?biy?ciz?di(i?1,2,3)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为
(5)设X和Y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为fX(x)和fY(y),分布函数分别为FX(x)和FY(y),则
(A)fX(x)＋fY(y)必为密度函数 (B) fX(x)fY(y)必为密度函数
(C)FX(x)＋FY(y)必为某一随机变量的分布函数 (D) FX(x)FY(y)必为某一随机变量的分布函数.
三、(本题满分6分)
设函数f(x)在x?0的某邻域具有一阶连续导数,且f(0)f?(0)?0,当h?0时,若
af(h)?bf(2h)?f(0)?o(h),试求a,b的值.