(20)(本题满分11分)
TTTTA?αα?ββ,α为α的转置,β为β的转置.证明:
(21)(本题满分11分)
?2a?2a设矩阵A?????12a???an2(1)r(A)?2.
(2)若α,β线性相关,则r(A)?2.
???,现矩阵A满足方程AX?B,其中X??x,?,x?T,B??1,0,?,0?,
1n1??2a?n?n(1)求证A??n?1?a.
(2)a为何值,方程组有唯一解,求x1. (3)a为何值,方程组有无穷多解,求通解.
(22)(本题满分11分)
设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P?X??i??1fY?y????00?y?1,记Z?X?Y,
其它13(23)(本题满分11分)
?i?1?,0?,1,Y的概率密度为
设X1,X2,?,Xn是总体为N(?,?2)的简单随机样本. 记X?1n?ni?1Xi,S?2?n?1i?11n2(Xi?X),T?X2?1nS
2?1?(1)求P?Z?X?0?.
2?? (1)证明T是?2的无偏估计量.
(2)当??0,??1时 ,求DT.
(2)求Z的概率密度.
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)当x?0时,f?x??x?sinax与g?x??x2ln?1?bx?等价无穷小,则
(A)a?1,b??16
(B)a?1,b?16
(C)a??1,b??16
(D)a??1,b?16
(2)如图,正方形??x,y?x?1,y?1?被其对角线划分为四个区域Dk?k?1,2,3,4?,Ik???ycosxdxdy,则max1?k?4?Ik??
Dk
(A)I1 (B)I2 (C)I3
(D)I4
(3)设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为
f(x) O -2 0 -1 1 2 3 x
则函数F?x???x0f?t?dt的图形为
f(x) f(x) 1 1 -2 0 1 2 3 x
-2 0 1 2 3 x
(A) -1
(B)
-1
f(x) f(x) 1 1 -1 0 1 2 3 x
-2 0 1 2 3 x
(C)
(D)
-1
(4)设有两个数列?an?,?bn?,若nlim??an?0,则
????(A)当?bn收敛时,?anbn收敛.
(B)当?bn发散时,?anbn发散.
n?1n?1n?1n?1???? (C)当?b2b2n收敛时,?ann收敛.
(D)当?ba22n发散时,?nbn发散.
n?1n?1n?1n?1(5)设α11,α2,α3是3维向量空间R3的一组基,则由基α1,2α2,13α3到基α1?α2,α2?α3,α3?α1的过渡矩阵为
?101??120?(A)??220?3???
(B)??02?
?033????103???111???24??16???11?22?(C)?11??2????1?246?
(D)?11??44?1?4? ?11???1??11???246????1?666??(6)设A,B均为2阶矩阵,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,若A?2,B?3,则分块矩阵?OA???BO?的伴随矩阵?为
(A)??O3B*?(B)??2A*O?
???O2B*
?3A*O? ?(C)??O3A*?
(D)??2B*O? ??O2A*??3B*O? ?(7)设随机变量X的分布函数为F?x??0.3??x??0.7???x?1?2?,其中??x??为标准正态分布函数,则EX? ?(A)0 (B)0.3
(C)0.7
(D)1
(8)设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布N?0,1?,Y的概率分布为P?Y?0??P?Y?1??12,
记FZ?z?为随机变量Z?XY的分布函数,则函数FZ?z?的间断点个数为
(A)0 (B)1
(C)2
(D)3
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) 2(9)设函数f?u,v?具有二阶连续偏导数,z?f?x,xy?,则
?z?x?y? .
(10)若二阶常系数线性齐次微分方程y???ay??by?0的通解为y??Cx1?C2x?e,则非齐次方程y???ay??by?满足条件xy?0??2,y??0??0的解为y? . (11)已知曲线L:y?x2?0?x?2?,则?Lxds? .
(12)设????x,y,z?x2?y2?z2?1?,则???z2dxdydz? . ?(13)若3维列向量α,β满足αTβ?2,其中αT为α的转置,则矩阵βαT的非零特征值为 . (14)设X1,X2,?,Xm为来自二项分布总体B?n,p?的简单随机样本,X和S2分别为样本均值和样本方差.若
X?kS2为np2的无偏估计量,则k? .
三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分9分)
求二元函数f(x,y)?x2?2?y2??ylny的极值.
(16)(本题满分9分) ??设a?1n为曲线y?xn与y?xn?n?1,2,.....?所围成区域的面积,记S1??an,S2??a2n?1,求S1与S2的值.
n?1n?1
(17)(本题满分11分) 椭球面Sx2221是椭圆4?y3?1绕x轴旋转而成,圆锥面S2是过点?4,0?且与椭圆
x4?y23?1相切的直线绕x轴旋转而成.
(1)求S1及S2的方程.
(2)求S1与S2之间的立体体积.
(18)(本题满分11分)
(1)证明拉格朗日中值定理:若函数f?x?在?a,b?上连续,在(a,b)可导,则存在???a,b?,使得f(20)(本题满分11分) ?1?设A??1??0??11?4?1???1????1,ξ1?1
???????2???2??b??f?a???f????b?a?.
(2)证明:若函数f?x?在x?0处连续,在?0,?????0?内可导,且limf??x??A,则f???0?存在,且f???0??A.
(1)求满足Aξ?ξ的ξ.A2ξ?ξ的所有向量ξ,ξ.
(19)(本题满分10分) 计算曲面积分I?ydzdx?zdxdy3,其中????xdydz???x2?y2?z2?2
x?0?是曲面2x2?2y2?z2?4的外侧.
2123123(2)对(1)中的任意向量ξ2,ξ3证明ξ1,ξ2,ξ3无关.
(21)(本题满分11分)
设二次型f?x1,x2,x3??ax2221?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3.
(1)求二次型f的矩阵的所有特征值;
(2)若二次型f的规范形为y221?y2,求a的值.