四、(本题满分7分) 已知两曲线y?f(x)与y? 六、(本题满分8分)
?arctanx0e?t22dt在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限limnf().
n??n设函数f(x)在R上具有一阶连续导数,L是上半平面(y>0)内的有向分段光滑曲线,起点为(a,b),终点为(c,d).
五、(本题满分7分) 计算二重积分??emax{x2,y2}dxdy,其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}.
D
记I??1[1?y2yf(xy)]dx?xyfy2[2(xy)?1]dy,
(1)证明曲线积分I与路径L无关. (2)当ab?cd时,求I的值.
七、(本题满分7分)
?(1)验证函数y(x)??x3nn?0(3n)!(???x???)满足微分方程y???y??y?ex.
?(2)求幂级数y(x)??x3nn?0(3n)!的和函数.
八、(本题满分7分)
设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy面,其底部所占的区域为D?{(x,y)|x2?y2?xy?75},小山的高度函数为h(x,y)?75?x2?y2?xy.
(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为
g(x0,y0),写出g(x0,y0)的表达式.
(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.
九、(本题满分6分)
已知四阶方阵A?(α1,α2,α3,α4), α1,α2,α3,α4均为四维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1?2α2?α3.若
β?α1?α2?α3?α4,求线性方程组Ax?β的通解.
十、(本题满分8分) 设A,B为同阶方阵,
(1)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当A,B为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.
十一、(本题满分7分)
设维随机变量X的概率密度为
xcos 0?x?x f(x)? 220 其它1十二、(本题满分7分)
设总体X的概率分布为
X P 0 2? 1 2?(1??) 2 2? 3 1?2? 对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于
?3其中?(0???的次数,求Y2的数学期望.
12)是未知参数,利用总体X的如下样本值
3,1,3,0,3,1,2,3.
求?的矩估计和最大似然估计值.
2003年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
1(1)lim(cosx)ln(1?x2) = .
x?0(2)曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是 .
?(3)设x2??ancosnx(???x??),则a2= .
n?0(4)从R2的基α?1??1?1???,α2??1?到基β??1??1? ?0????1??,β2???的过渡矩阵为 . ?1??2?(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)? 6x0 0?x?y?1其它,则P{X?Y?1}? . (6)已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布N(?,1),从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则?的置信度为0.95的置信区间是 .
(注:标准正态分布函数值?(1.96)?0.975,?(1.645)?0.95.)
二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设函数f(x)在(??,??)内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)有
(A)一个极小值点和两个极大值点
(B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点
(2)设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且lim??an?0,limn??bn?1,limn??cn??,则必有
n(A)an?bn对任意n成立 (B)bn?cn对任意n成立 (C)极限limancn不存在
(D)极限n??limbncn不存在
n??(3)已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且limf(x,y)?xy
x?0,y?0(x2?y2)2?1,则(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点 (B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点
(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点
(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点 (4)设向量组I:α1,α2,?,αr可由向量组II:β1,β2,?,βs线性表示,则 (A)当r?s时,向量组II必线性相关 (B)当r?s时,向量组II必线性相关 (C)当r?s时,向量组I必线性相关
(D)当r?s时,向量组I必线性相关
(5)设有齐次线性方程组Ax?0和Bx?0,其中A,B均为m?n矩阵,现有4个命题:
① 若Ax?0的解均是Bx?0的解,则秩(A)?秩(B)
② 若秩(A)?秩(B),则Ax?0的解均是Bx?0的解 ③ 若Ax?0与Bx?0同解,则秩(A)?秩(B) ④ 若秩(A)?秩(B), 则Ax?0与Bx?0同解
以上命题中正确的是
(A)①② (B)①③
(C)②④
(D)③④
(6)设随机变量X~t(n)(n?1),Y?1X2,则 (A)Y~?2(n) (B)Y~?2(n?1)
(C)Y~F(n,1)
(D)Y~F(1,n)
三、(本题满分10分)
过坐标原点作曲线y?lnx的切线,该切线与曲线y?lnx及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A.
(2)求D绕直线x?e旋转一周所得旋转体的体积V.
四、(本题满分12分)
?将函数f(x)?arctan1?2x(?1)n1?2x展开成x的幂级数,并求级数?的和.
n?02n?1
五 、(本题满分10分)
已知平面区域D?{(x,y)0?x??,0?y??},L为D的正向边界.试证: (1)??xsinyLedy?ye?sinxdx???sinyLxe?dy?yesinxdx.
(2)??xesinydy?ye?sinx2Ldx?2?.
六 、(本题满分10分)
某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻
力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k.k?0).汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0?r?1).问
(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?
(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m表示长度单位米.)
七 、(本题满分12分)
设函数y?y(x)在(??,??)内具有二阶导数,且y??0,x?x(y)是y?y(x)的反函数.
(1)试将x?x(y)所满足的微分方程
d2xdx3dy2?(y?sinx)(dy)?0变换为y?y(x)满足的微分方程.
(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?32的解.