八 、(本题满分12分)
设函数f(x)连续且恒大于零,
???F(t)??(t)f(x?y?z)dv222??,G(t)?D(t)f(x?y)d?22??D(t)f(x?y)d?22?t,
f(x)dx2
?1其中?(t)?{(x,y,z)x2?y2?z2?t2},D(t)?{(x,y)x2?y2?t2}.
(1)讨论F(t)在区间(0,??)内的单调性. (2)证明当t?0时,F(t)?2?G(t).
九 、(本题满分10分)
?322??01设矩阵A???232??,P???10??223????00阵,E为3阶单位矩阵.
0?1?,B?P?1A*P,求B?2E的特征值与特征向量,其中A*?为A的伴随矩1??
十 、(本题满分8分)
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1: ax?2by?3c?0, l2: bx?2cy?3a?0,
l3: cx?2ay?3b?0.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.
十一 、(本题满分10分)
已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:
(1)乙箱中次品件数的数学期望.
(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
十二 、(本题满分8分) 设总体X的概率密度为
f(x)?
2e0?2(x??)
x??x?0
其中??0是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn,记???min(X1,X2,?,Xn).
(1)求总体X的分布函数F(x). (2)求统计量??的分布函数F??(x).
(3)如果用??作为?的估计量,讨论它是否具有无偏性.
2004年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线y?lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为__________ . (2)已知f?(ex)?xe?x,且f(1)?0,则f(x)=__________ .
(3)设L为正向圆周x2?y2?2在第一象限中的部分,则曲线积分?Lxdy?2ydx的值为__________.
2(4)欧拉方程x2dydydx2?4xdx?2y?0(x?0)的通解为__________ .
?210?(5)设矩阵A???120??,矩阵B满足ABA*?2BA*?E,其中A*为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则??001??B=__________ . (6)设随机变量X服从参数为?的指数分布,则P{X?DX}= __________ .
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
2(7)把x?0?时的无穷小量???x230costdt,???x0tantdt,???x0sintdt,使排在后面的是前一个的高阶
无穷小,则正确的排列次序是
(A)?,?,? (B)?,?,?
(C)?,?,?
(D)?,?,?
(8)设函数f(x)连续,且f?(0)?0,则存在??0,使得
(A)f(x)在(0,?)内单调增加 (B)f(x)在(??,0)内单调减少
(C)对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0)
(D)对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0)
?(9)设?an为正项级数,下列结论中正确的是
n?1?(A)若limn??nan=0,则级数?an收敛
n?1?(B)若存在非零常数?,使得limn??nan??,则级数?an发散
n?1?(C)若级数?a2n收敛,则limnan?0
n?1n???(D)若级数?an发散, 则存在非零常数?,使得limn??nan??
n?1(10)设f(x)为连续函数,F(t)??tt1dy?f(x)dx,则F?(2)等于
y(A)2f(2)
(B)f(2) (C)?f(2)
(D) 0
(11)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ?C的可逆矩阵Q为
?010??010?(A)??100??
(B)??101?? ??101????001???010??011?(C)??100??
(D)??100?? ??011????001??(12)设A,B为满足AB?O的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关
(13)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的?(0???1),数u?满足P{X?u?}??,若
P{X?x}??,则x等于
(A)u?
(B)u
21??2(C)u1??
(D) u1??
2X且其方差为?2?0. 令Y?1n(14)设随机变量1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布,n?Xi,则
i?12(A)Cov(X1,Y)??n
(B)Cov(X21,Y)??
(C)D(X1?Y)?n?2n?2
(D)D(X1?Y)?n?1n?2
三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分)
设e?a?b?e2,证明ln2b?ln2a?4e2(b?a).
(16)(本题满分11分)
某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.
现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k?6.0?106). 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?
(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)
(17)(本题满分12分)
计算曲面积分I???2x3dydz?2y3dzdx?3(z2?1)dxdy,其中?是曲面z?1?x2?y2(z?0)的上侧.
?
(18)(本题满分11分)
?设有方程xn?nx?1?0,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根x时,级数?x?n,并证明当??1n收敛.
n?1
(19)(本题满分12分)
设z?z(x,y)是由x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的函数,求z?z(x,y)的极值点和极值. (21)(本题满分9分)
?12?3?
(20)(本题满分9分)
设有齐次线性方程组
?(1?a)x1?x2???xn?0,??2x?1?(2?a)x2???2xn?0,?????????nx1?nx2???(n?a)xn?0,试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
(n?2),
设矩阵A????14?3??的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化. ??1a5??
(22)(本题满分9分)
设A,B为随机事件,且P(A)?114,P(B|A)?3,P(A|B)?12,令
X??1,A发生,?1,B发生,? ?0,A不发生; Y???0,B不发生.
求:(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布. (2)X和Y的相关系数?XY.