(22)(本题满分11分)
袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.
(1)求p?X?1Z?0?.
(2)求二维随机变量?X,Y?概率分布.
(23)(本题满分11 分)
??2xe??x,x?0设总体X的概率密度为f(x)??,其中参数?(??0)未知,X1,X2,…Xn是来自总体X的简单
?0,其他随机样本.
(1)求参数?的矩估计量.
(2)求参数?的最大似然估计量.
2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
?x2?x(1)极限limx????(x?a)(x?b)?= ?(A)1 (B)e
(C)ea?b
(D)eb?a
(2)设函数z?z(x,y)由方程F(yx,zx)?0确定,其中F为可微函数,且F?z?z2??0,则x?x?y?y= (A)x (B)z (C)?x
(D)?z
1mln2(3)设m,n为正整数,则反常积分?(1?x)0n的收敛性
xdx(A)仅与m取值有关 (B)仅与n取值有关
(C)与m,n取值都有关
(D)与m,n取值都无关
nn(4)lim2?j2)=
x????ni?1j?1(n?i)(n(A)?1x10(1?x)(1?y2)dy
(B)
0dx??10dx?x10(1?x)(1?y)dy
(C)?111
(D)10dx?0(1?x)(1?y)dy ?110dx?0(1?x)(1?y2)dy
(5)设A为m?n型矩阵,B为n?m型矩阵,若AB?E,则 (A)秩(A)?m,秩(B)?m (B)秩(A)?m,秩(B)?n
(C)秩(A)?n,秩(B)?m
(D)秩(A)?n,秩(B)?n
(6)设A为4阶对称矩阵,且A2?A?0,若A的秩为3,则A相似于 ?1??1??1???(A)???1?
(B)?1????1?
?0????0???1???1???(C)??1???1????
(D)??? ??1 ?0????1?0??0 x?0(7)设随机变量X的分布函数F(x)?
1则2 0?x?1,P{X?1}=
1?e?x x?2(A)0
(B)1
(C)12?e?1
(D)1?e?1
(8)设f1(x)为标准正态分布的概率密度,f2(x)为[?1,3]上均匀分布的概率密度,
f(x)?
af1(x)bf
x?02(x)x?0 (a?0,b?0)
为概率密度,则a,b应满足
(A)2a?3b?4 (B)3a?2b?4
(C)a?b?1
(D)a?b?2
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
2(9)设x?e?t,y??t .
0ln(1?u2)du,求
dydx2= t?0(10)??20xcosxdy= .
(11)已知曲线L的方程为y?1?x{x?[?1,1]},起点是(?1,0),终点是(1,0), 则曲线积分?xydx?x2Ldy= .
(12)设??{(x,y,z)|x2?y2?z?1},则?的形心的竖坐标z= .
(13)设α(1,2,?1,0)T,α?(1,1,0,2)T,αT1?23?(2,1,1,?),若由α1,α2,α3形成的向量空间的维数是2,则
?= .
(14)设随机变量X概率分布为P{X?k}?Ck!(k?0,1,2,?),则EX2= .
三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)
求微分方程y???3y??2y?2xex的通解.
(16)(本题满分10分) 求函数f(x)??x2t)e?t21(x?dt的单调区间与极值.
(17)(本题满分10分)
(1)比较?1lnt[ln(1?t)]ndt与?1tnlntdt(n?1,2,?)的大小,说明理由.
00(2)记un??10lnt[ln(1?t)]ndt(n?1,2,?),求极限limx??un.
(18)(本题满分10分)
?求幂级数?(?1)n?1nn?12n?1x2的收敛域及和函数.
(19)(本题满分10分)
设P为椭球面S:x2?y2?z2?yz?1上的动点,若S在点P的切平面与xoy面垂直,求P点的轨迹C,并计算曲面
(x?2(20)(本题满分11分) ???设A?0??1?11??a????0,b?1,已知线性方程组Ax?b存在两个不同的解. ?????1???????11积分I?
???3)y?2z2dS,其中?是椭球面S位于曲线C上方的部分.
4?y?z?4yz(1)求?,a.
(2)求方程组Ax?b的通解.
(21)(本题满分11分)
设二次型f(xTAx在正交变换x?Qy下的标准形为y222T1,x2,x3)?x1?y2,且Q的第三列为(2,0,22).
(1)求A.
(2)证明A?E为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.
(22)(本题满分11分)
设二维随机变量(X?Y)的概率密度为f(x,y)?Ae?2x2?2xy?y2,???x??,???y??,求常数及A条件概率密
度fY|X(y|x).
(23)(本题满分11 分)
设总体X的概率分布为
X 1 2 3 P 1?? ???2 ?2 其中??(0,1)未知,以Ni来表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(i?1,2,3),试求常数
3a1,a2,a3,使T??aiNi为?的无偏估计量,并求T的方差.
i?1