(23)(本题满分9分)
设总体X的分布函数为
1??1??,x?1, F(x,?)??xx?1,??0,其中未知参数??1,X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本,
求:(1)?的矩估计量. (2)?的最大似然估计量.
2005年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) 2(1)曲线y?x2x?1的斜渐近线方程为 _____________.
(2)微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??19的解为____________.
(3)设函数u(x,y,z)?1?x2z26?y212?18,单位向量n??1{1,1,1},则
?u?n(1,2,3)=.________.
3(4)设?是由锥面z?x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域,?是?的整个边界的外侧,则
??xdydz?ydzdx?zdxdy?____________.
?(5)设α1,α2,α3均为3维列向量,记矩阵
A?(α1,α2,α3),B?(α1?α2?α3,α1?2α2?4α3,α1?3α2?9α3),
如果A?1,那么B? .
(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数,记为Y, 则P{Y?2}=____________.
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)设函数f(x)?limnn??1?x3n,则f(x)在(??,??)内
(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点
(D)至少有三个不可导点
(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,\M?N\表示\M的充分必要条件是N\则必有 (A)F(x)是偶函数?f(x)是奇函数 (B)F(x)是奇函数?f(x)是偶函数 (C)F(x)是周期函数?f(x)是周期函数
(D)F(x)是单调函数?f(x)是单调函数
(9)设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)??x?yx?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数,? 具有一阶导数,则必有
?2u?2u?2u2(A)?x2???y2 (B)?x2??u?y2
?2u22(C)
u?x?y???y2 (D)
?u?2u?x?y??x2
(10)设有三元方程xy?zlny?exz?1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程 (A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z?z(x,y)
(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和z?z(x,y) (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y?y(x,z)和z?z(x,y) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和y?y(x,z)
(11)设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1?α2)线性无关的充分
必要条件是
(A)?1?0 (B)?2?0
(C)?1?0
(D)?2?0
(12)设A为n(n?2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B.A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,则 (A)交换A*的第1列与第2列得B* (B)交换A*的第1行与第2行得B* (C)交换A*的第1列与第2列得?B*
(D)交换A*的第1行与第2行得?B*
(13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立,则
(A)a?0.2,b?0.3 (B)a?0.4,b?0.1 (C)a?0.3,b?0.2
(D)a?0.1,b?0.4
(14)设XX2
1,2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,S为样本方差,则
(A)nX~N(0,1)
(B)nS2~?2(n)
(n?1)XS(n?1) (D)(n?1)X2(C)~t1n~F(1,n?1)
?X2ii?2
三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(15)(本题满分11分) 设D?{(x,y)x2?y2?2,x?0,y?0},[1?x2?y2]表示不超过1?x2?y2的最大整数. 计算二重积分
xy[1?x2?y2]dxdy.
D
(16)(本题满分12分)
?求幂级数?(?1)n?1(1?1)x2n的收敛区间与和函数n?1n(2n?1)f(x).
(17)(本题满分11分)
如图,曲线C的方程为y?f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分?30(x2?x)f???(x)dx.
(18)(本题满分12分)
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)?0,f(1)?1. 证明: (1)存在??(0,1), 使得f(?)?1??.
(2)存在两个不同的点?,??(0,1),使得f?(?)f?(?)?1.
??(19)(本题满分12分)
设函数?(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分???(y)dx?2xydy的值恒
L2x2?y4为同一常数.
(1)证明:对右半平面x?0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有???(y)dx?2xydy.
C2x2?y4?0(2)求函数?(y)的表达式.
(20)(本题满分9分)
已知二次型f(x22?2x21,x2,x3)?(1?a)x1?(1?a)x23?2(1?a)x1x2的秩为2.
(1)求a的值；
(2)求正交变换x?Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形. (3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.
(21)(本题满分9分)
?1已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵B???2??3组Ax?0的通解.
23?46??(k为常数),且AB?O,求线性方程6k??
(22)(本题满分9分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)?求:(1)(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y). (2)Z?2X?Y的概率密度fZ(z).
0?x?1,0?y?2x0
其它
(23)(本题满分9分)
设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,记Yi?Xi?X,i?1,2,?,n.求:(1)Yi的方差DYi,i?1,2,?,n. (2)Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).
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