步骤)
(17)(本题满分11分)
求函数 f(x,y)?x2?2y2?x2y2在区域D?{(x,y)|x2?y2?4,y?0}上的最大值和最小值.
(18)(本题满分10分) 计算曲面积分I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy,其中 ?为曲面z?1?x2?y2?4(0?z?1)的上侧.
(19)(本题满分11分)
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)?g(a),f(b)?g(b),证明:存在??(a,b),使得 f??(?)?g??(?).
(20)(本题满分10分)
?设幂级数
?annx 在(??,??)内收敛,其和函数y(x)满足
n?0y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1.
(1)证明:an?2?2n?1an,n?1,2,?.
(2)求y(x)的表达式.
(21)(本题满分11分)
设线性方程组
?x1?x2?x3?0??x1?2x2?ax3?0, ?x?4x?a2x?023?1(22)(本题满分11分)
设3阶实对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2.α1?(1,?1,1)T是A的属于特征值?1的一个特征向量,记B?A5?4A3?E,其中E为3阶单位矩阵.
(1)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B.
x1?2x2?x3?a?1,
与方程
有公共解,求a的值及所有公共解.
(23)(本题满分11分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?2?x?y,0?x?1,0?y?1 f(x,y)??0,其他?(24)(本题满分11分)
设总体X的概率密度为
1??2?,0?x???1?f(x;?)??,??x?1
2(1??)??0,其他??X1,X2?,Xn是来自总体x的简单随机样本,X是样本均值
(1)求P{X?2Y}.
(2)求Z?X?Y的概率密度.
(1)求参数?的矩估计量??.
(2)判断4X2是否为?2的无偏估计量,并说明理由.
2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
2(1)设函数f(x)??x(x)的零点个数
0ln(2?t)dt则f?(A)0 (B)1
(C)2
(D)3
(2)函数f(x,y)?arctanxy在点(0,1)处的梯度等于
(A)i (B)-i
(C)j
(D)?j
(3)在下列微分方程中,以y?Cx1e?C2cos2x?C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是 (A)y????y???4y??4y?0 (B)y????y???4y??4y?0 (C)y????y???4y??4y?0
(D)y????y???4y??4y?0
(4)设函数f(x)在(??,??)内单调有界,?xn?为数列,下列命题正确的是 (A)若?xn?收敛,则?f(xn)?收敛 (B)若?xn?单调,则?f(xn)?收敛 (C)若?f(xn)?收敛,则?xn?收敛
(D)若?f(xn)?单调,则?xn?收敛
(5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵. 若A3?0,则 (A)E?A不可逆,E?A不可逆
(B)E?A不可逆,E?A可逆
(C)E?A可逆,E?A可逆
(D)E?A可逆,E?A不可逆
?x?(6)设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(x,y,z)A???y??1??z??在正交变换下的标准方程的图形如图,则A的正特征值个数为
(A)0 (B)1 (C)2
(D)3
(7)设随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F?x?,则Z?max?X,Y?分布函数为 (A)F2?x?
(B) F?x?F?y?
(C) 1??2?1?F?x???
(D) ??1?F?x?????1?F?y???
(8)设随机变量X~N?0,1?,Y~N?1,4?且相关系数?XY?1,则 (A)P?Y??2X?1??1 (B)P?Y?2X?1??1 (C)P?Y??2X?1??1
(D)P?Y?2X?1??1
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程xy??y?0满足条件y?1??1的解是y??????????????????. (10)曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????.
?(11)已知幂级数
?an?n?x?2?在x?0处收敛,在x??4处发散,则幂级数
?an?x?3?n的收敛域为
n?0n?0?????????????????.
(12)设曲面?是z?4?x2?y2的上侧,则??xydydz?xdzdx?x2dxdy??????????????????.
?(13)设A为2阶矩阵,α1,α2为线性无关的2维列向量,Aα1?0,Aα2?2α1?α2,则A的非零特征值为?????????????????.
(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则P?X?EX2???????????????????.
三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分10分)
求极限lim??sinx?sin?sinx???sinxx?0x4.
(16)(本题满分10分) 计算曲线积分?sin2xdx?2?x2?1?ydy,其中L是曲线y?sinx上从点?0,0?到点??,0?的一段.
L
(17)(本题满分10分)
已知曲线C:??x2?y2?2z2?0x?y?3z?5,求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点.
?
(18)(本题满分10分) 设f?x?是连续函数, (1)利用定义证明函数F?x???x且F?0f?t?dt可导,?x??f?x?.
(2)当f?x?是以2为周期的周期函数时,证明函数G?x??2?xf(t)dt?x?2f(t)dt也是以2为周期的周期函数.
00
(19)(本题满分10分)
?f?x??1?x2(0?x??),用余弦级数展开,并求???1?n?1的和.
n?1n2