(10)设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数,且?y(x,y)?0.已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的12006年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)limxln(1?x)1?.
x?0?cosx(2)微分方程y??y(1?x)x的通解是 .
(3)设?是锥面z?x2?y2(0?z?1)的下侧,则??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy? . ?(4)点(2,1,0)到平面3x?4y?5z?0的距离z= .
(5)设矩阵A??21??2,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BA?B?2E,则B= . ??1??(6)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则P?max{X,Y}?1?= . 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)设函数y?f(x)具有二阶导数,且f?(x)?0,f??(x)?0,?x为自变量x在x0处的增量,?y与dy分别为
f(x)在点x0处对应的增量与微分,若?x?0,则
(A)0?dx??y (B)0??y?dy (C)?y?dy?0
(D)dy??y?0
?(8)设f(x,y)为连续函数,则?410d??f(rcos?,rsin?)rdr等于
021?x22x2(A)?20dx?xf(x,y)dy (B)
?20dx?1?0f(x,y)dy
22(C)?21?y2
(C)0dy?yf(x,y)dx ?2?y20dy?10f(x,y)dx
?(9)若级数?an收敛,则级数
n?1??(A)?a
(B)?(?1)nn收敛
an收敛
n?1n?1??(C)?anan?1收敛
(D)?an?an?1n?1n?12收敛
一个极值点,下列选项正确的是
(A)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0 (B)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0 (C)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0
(D)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0
(11)设α1,α2,?,αs,均为n维列向量,A是m?n矩阵,下列选项正确的是
(A)若α1,α2,?,αs,线性相关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性相关 (B)若α1,α2,?,αs,线性相关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性无关
(C)若α1,α2,?,αs,线性无关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性相关 (D)若α1,α2,?,αs,线性无关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性无关.
?1(12)设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C,记P???0??0则
(A)C?P?1AP (B)C?PAP?1
(C)C?PTAP
(D)C?PAPT
(13)设A,B为随机事件,且P(B)?0,P(A|B)?1,则必有
(A)P(A?B)?P(A) (B)P(A?B)?P(B)
(C)P(A?B)?P(A)
(D)P(A?B)?P(B)
(14)设随机变量X服从正态分布N(?221,?1),Y服从正态分布N(?2,?2),
且P{|X??1|?1}?P{|Y??2|?1},则
(A)?1??2 (B)?1??2
(C)?1??2
(D)?1??2
三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
10?10??,01??(15)(本题满分10分) 设区域D=??x,y?x2?y2?1,x?0?,计算二重积分I???1?xy2D1?x?y2dxdy.
(16)(本题满分12分)
设数列?xn?满足0?x1??,x??1?sinxn?n?1,2,...?. 求:(1)证明limxn存在,并求之.
x??1?x2n?1?x(2)计算limn????x?. xn?
(17)(本题满分12分)
将函数f?x??x2?x?x2展开成x的幂级数.
(18)(本题满分12分)
设函数f?u?在?0,???内具有二阶导数,且z?f?2x2?y2?满足等式?2z?x2??z?y2?0.
(1)验证f???u??f??u?u?0.
(2)若f?1??0,f??1??1,求函数f(u)的表达式.
(19)(本题满分12分)
设在上半平面D???x,y?y?0?内,数f?x,y?是有连续偏导数,且对任意的t?0都有 f?tx,ty??t2f?x,y?.
证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有??yf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0.
L
(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组
?x1?x2?x3?x?4??1?4x1?3x2?5x3?x4??1 ??ax1?x2?3x3?bx4?1有3个线性无关的解,
(1)证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2. (2)求a,b的值及方程组的通解.
(21)(本题满分9分)
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量αT1???1,2,?1?,α2??0,?1,1?T是线性方程组Ax?0的两个解.
(1)求A的特征值与特征向量.
(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ?A.
(22)(本题满分9分)
?1?2,?1?x?0??12随机变量x的概率密度为fx?x???,0?x?2令y?x,F?x,y?为二维随机变量(X,Y)的分布函数.
?4?0,其它??(23)(本题满分9分)
?00?x?1设总体X的概率密度为F(X,0)? 1?? 1?x?2,其中?是未知参数(0???1),X1,X2...,Xn为来自总
其它体X的简单随机样本,记N为样本值x1,x2...,xn中小于1的个数,求?的最大似然估计.
(1)求Y的概率密度fY?y?. (2)F????1?,4?. 2?
2007年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)
(1)当x?0?时,与x等价的无穷小量是
(A)1?ex (B)ln1?x
1?x(C)1?x?1 (D)1?cosx
(2)曲线y?1?ln(1?exx),渐近线的条数为
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
(3)如图,连续函数y?f(x)在区间[?3,?2],[2,3]上的图形分别是
直径为1的上、下半圆周,在区间[?2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)??x
0f(t)dt.则下列结论正确的是(A)F(3)??34F(?2)
(B)F(3)?54F(2) (C)F(3)?34F(2)
(D)F(3)??54F(?2)
(4)设函数f(x)在x?0处连续,下列命题错误的是 (A)若limf(x)x存在,则f(0)?0 (B)若limf(x)?f(?x) 存在,则x?0x?0xf(0)?0 (C)若limf(x)x 存在,则f?(0)?0
(D)若limf(x)?f(?x)?0x 存在,则f?(0)?0
x?0x(5)设函数f(x)在(0, +?)上具有二阶导数,且f\x)?0, 令un?f(n)?1,2,?,n,则下列结论正确的是 (A)若u1?u2,则{un}必收敛
(B)若u1?u2,则{un}必发散
(C)若u1?u2,则{un}必收敛
(D)若u1?u2,则{un}必发散
(6)设曲线L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,?为L上从点M到N的一段弧,则下列小于零的是
(A)??(x,y)dx
(B)
??f(x,y)dy
(C)??f(x,y)ds
(D)??f'x(x,y)dx?f'y(x,y)dy
(7)设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A)α1?α2,α2?α3,α3?α1 (B)α1?α2,α2?α3,α3?α1 (C)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1
(D)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1
?2?1?1??100?(8)设矩阵A????12?1???,B??010???,则A与B ??1?12????000??(A)合同,且相似
(B)合同,但不相似
(C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p?0?p?1?,则此人第4次射击恰好第2次命中
(A)3p(1?p)2 (B)6p(1?p)2
(C)3p2(1?p)2
(D)6p2(1?p)2
(10)设随即变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,则在
Y?y的条件下,X的条件概率密度fX|Y(x|y)为
(A)fX(x)
(B)fY(y)
(C)f (D)fX(x)X(x)fY(y) f
Y(y)
二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上)
1(11)?211x3exdx=_______.
(12)设f(u,v)为二元可微函数,z?f(xy,yx),则
?z?x=______.
(13)二阶常系数非齐次线性方程y''?4y'?3y?2e2x的通解为y=____________.
(14)设曲面?:|x|?|y|?|z|?1,则???(x?|y|)ds=_____________.
??0100??(15)设矩阵A??0010????0001?,则A3的秩为________. ?0000??(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于
12的概率为________.
三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算
目标的概率为