9.3.2 直线与平面所成的角
【教学目标】
1. 了解平面的斜线的定义，理解直线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．
2. 注重培养学生的读图、作图的能力，培养学生的空间想象力． 【教学重点】
直线与平面所成的角． 【教学难点】
斜线与平面所成的角． 【教学方法】
本节主要采用讲练结合法．在学生熟悉线面垂直的基础上，讲解平面的斜线及其射影，通过推导三垂线定理进一步熟悉线面垂直的知识．
【教学过程】 环节 教学内容 1．直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理． 2．直线与平面的位置关系． 导 入 师生互动 直线与平面的位置关系利用表格进行提问（见课件）． 师：空间直线与平面垂直属于哪一种情况？ 生：一条直线和一个平面相交，且和这个平面垂直 师：一条直线与一个平面相交但不垂直，会怎样？ 教师给出定义． 学生理解并记忆定义． 重点强调斜线的射影是过垂足和斜足的直线． 教师可在此处多设设计意图 本节内容是建立在线面垂直的基础之上的，所以学生必须对线面垂直的定义、判定定理和性质定理非常熟练．课前复习，为新课的学习扫清障碍． 引导学生在理解的基础上记忆． 此处加强练习为下面顺利引入三垂线定理奠定基础． 新 课 1．平面的斜线 如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．斜线上一点与斜足之间的线段叫做斜线段． 如图，AB是平面?的斜线，B是斜足，AB是斜线段． A B ? 2．直线与平面所成的角 从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．斜线和它在平面上的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或夹角)，如上图所示．
新 课 如果直线垂直于平面，则规定直线与平面所成的角是直角(90?)； 如果直线和平面平行，或在平面内，则规定直线与平面所成的角是0?的角． 一条线段与平面所成的角指的是线段所在直线与平面所成的角． 如图，设线段AB在平面?内的射影为A?B? ，且AB与平面?所成的角为? ．易证 |A?B? |＝|AB| cos ? ． B A ? ? A? B? 练习 设线段AB＝l，且AB与平面? 所成的角为? ，求线段AB在平面内的射影A?B? 长： 计几个图形，让学生练习辨别垂线，斜线及其射影． 学生练习． ?（1）l＝6，?＝； 3 （2）l＝10，?＝0； ?（3）l＝8，?＝． 2 例1 如图长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，展示图形，要求学BC＝1，AA1＝2．求对角线A1C与平面ABCD所生找出对角线A1C所在成的角． 直线在平面ABCD上的D1 C1 射影，讨论如何作图． A1 B1 D C A B 解 连接AC，由题意知△A1AC为直角三角形， 且?A1AC＝90?．又由题意，可知 AC＝AB2＋BC2＝12＋12＝2． 而AA1＝2，所以?ACA1＝45?． 因此A1C与平面ABCD所成的角为45?． 例2 如图，已知 PA是平面?的斜线，PO??，教师引导学生对定a ? ?，a ? AO． 理进行结构分析，明确求证：a ? PA． 各元素之间的制约关P 系，指导学生抓住“四 线一面”中“垂线”这a O A ?
教师用问题引导学生一步步分析如何作出斜线与平面所成的角，培养学生思维的条理性． 此题看似简单，但每一步都分别应用了线面垂直的定义、判定定理
新 课 证明：因为 PO ? ?，a ? ?，所以 PO ? a．（线面垂直的定义） 又因为AO ? a，且PO∩AO＝O，所以 a ?平面PAO．（线面垂直的判定） 又因为PA ? 平面 PAO，所以 a ? PA．（线面垂直的定义） 例2中，AO是斜线PA在平面?内的射影，通常例2的结论也叫做三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 练习 1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，写出对角线B1D1 与平面AC，平面BA1，平面BC1所成的角，并求这些角的余弦值． 2．如图所示，PA为平面? 的斜线，PO??，a??，a? PA．求证：a?AO． P a O A ? 该结论叫做三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直． 1．平面的斜线的定义． 2．理解直线与平面所成的角的概念，并会求直线与平面所成的角． 教材P131练习A组第 3 题． 教材P131练习 B组第1题（选做）． 个关键条件． 可借助三角板与铅笔演示三垂线定理，给学生以直观印象． 师生合作共同完成． 等，教师必须在每一步后注明所用定理，给学生以明确的思维指导． 学习新知后紧跟练习，有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于教师了解学生对本节课的掌握情况． 教师引导梳理． 小 结 作 业
9.3.3 平面与平面所成的角
【教学目标】
1. 了解二面角、二面角的平面角的定义，会求二面角的大小．
2．从学生身边的事例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程． 3．培养学生把空间问题转化为平面问题进行解决的思想． 【教学重点】 二面角的定义． 【教学难点】
找出二面角的平面角． 【教学方法】
这节课主要采用讲练结合法．由直观的生活实例抽象出二面角及其平面角的定义，通过题目练习其应用．
【教学过程】 环节 教学内容 修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，需要使水坝面与水平面成适当的角度；使用笔记本电脑时，为了方便操作，两个面板要成一定的角度． 师生互动 设计意图 两个平面成一定夹由生活实角的实例． 例引出平面与如何刻画两个平面平面所成角的形成的这种“角”呢？ 定义，由具体到抽象，符合学生的认知规律． 由直观的形象感知到抽象的数学定义，让学生感到数学知识来源于生活． 通过此问题可加深对二面角的平面角的理解． 导 入 新 课 1. 二面角 平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都分别叫做一个半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 如图，以 AB为棱， ?和? 为半平面的二面角，记作二面角 ?-AB-?．如果C，D分别是半平面?和?内(棱以外的半平面部分)的点，那么这个二面角也可记作C-AB-D． ? D l A B C ? 笔记本电脑打开过程中，我们可以感到两个面板构成的二面角的大小在逐渐变大．如何来刻画二面角的大小呢？ 2. 二面角的平面角 如图，在二面角 ?-l-? 的棱 l 上任取一点 O，师：棱l 与?AOB 以点 O 为垂足，在半平面 ? 和? 内分别作垂直于所在的平面有什么关棱 l 的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 构成系？ 的 ?AOB 叫做二面角的平面角． 生：棱l ⊥平面 AOB． ? A l B O ?
新 课 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．我oo们约定，二面角 ? 的大小范围是0≤?≤180．平面角是直角的二面角叫做直二面角． 例 如图，已知正方体 ABCD-A?B?C?D?，求二面角 D?-AB-D 的大小． D? C? A? B? D C A B 解 在正方体ABCD-A?B?C?D? 中，因为 AB⊥平面 ADD?A?， 所以AB⊥AD?，AB⊥AD， 因此?D?AD即为二面角 D?-AB-D的平面角． 由于△D?AD是等腰直角三角形，因此 o?D?AD＝45， o所以二面角 D?-AB-D 的大小为45． 练习 1．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线组成的角就是二面角的平面角，对吗？为什么？ 2．如图所示，在正方体ABCD-A?B?C?D? 中，求二面角A?-AB-D 的大小． D? C? A? B? 师：所求二面角是哪两个平面所成的角？其平面角是哪一个？如何求出平面角的大小？ 师生合作共同完成． 用问题引导学生分析解题思路，尤其注重分析如何找出二面角的平面角，为练习中的题目做铺垫． 学习新知后紧跟练习有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于教师检验学生的掌握情况． D A B C 小 结 作 业 1．二面角，二面角的平面角的定义． 2．会求二面角的平面角． 教材P133练习A组第 1，2题． 教材P133练习B组第1，2题（选做）．