13．直径为1m的球形鱼缸的中心处有一条小鱼，若玻璃缸壁的影响可忽略不计，求缸外观察者所看到的小鱼的表观位置和横向放大率。
解：小鱼通过玻璃缸球面折射成像。有成像公式 n'nn'?? s'sr
将n’=1，n=1.33，s=500mm，r=-500mm代入上式，求得 s’=-500mm
即外界看小鱼的像仍在原处。
横向放大率为
s'n?5001.33??????1.33
sn'?5001
14．玻璃棒一端成半球形，其曲率半径为2cm。将它水平地浸入折射率为1.33水中，沿着棒的轴线离球面顶点8cm处的水中有一物体，利用计算和作图法求像的位置及横向放大率，并作光路图。
解：（1）半球形界面对物点折射成像，有成像公式
nLn水nL?n水??
s'sr
将s=-80mm，r=20mm，nL=1.50，n水=1.33代入上式，求得 s’=-184.6mm
即成虚像于棒的左端的水中184.6mm处。
（2）横向放大率 s'n水?184.61.33??????2.0 snL?801.50
（3）光路图（略）。
15．有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面，其曲率半径为10cm。一物点在主轴上距镜20cm处，若物和镜均浸在水中，分别用作图法和计算法求像点的位置。设玻璃的折射率为1.5，水的折射率为1.33。
提示：分别求凸透镜（两面为凸球面）和凹透镜（两面为凹球面）的薄透镜成像。可以用
n2n1nL?n1nL?n2???
s'sr1r2
因为薄透镜放在水中，所以n1=n2=1.33，nL=1.50。
16．一凸透镜在空气中的焦距为40cm，在水中时焦距为136.8cm，问此透
镜的折射率为多少（水的折射率为1.33）?若将此透镜置于CS2中（CS2的折射率为1.62），其焦距又为多少？
解：薄透镜的焦距公式 1n11?(?1)(?)?n'是物象方折射率,n是透镜折射率) f'n'r1r2 令
11 ??Xr1r2 则
1n ?(?1)Xf'n'
在空气中n’≈1，有
1?(n?1)X
40
在水中n’≈1.33，有
1n?(?1)X
136.81.33
在CS2中n’≈1.62，有
1n?(?1)X
f'1.62
由上述三式可求得
?n?1.54
?1 X??21.6?
?f'??437.4cm
即薄透镜的折射率n=1.54.在CS2中焦距f'=－437.4为凹透镜。
17．两片极薄的表玻璃，曲率半径分别为20cm和25cm。将两片的边缘粘起来，形成内含空气的双凸透镜，把它置于水中，求其焦距为多少？
解：水的折射率为1.33，依据两个球面联合成象时焦距公式
f??n1n?n1n2?nn水=1.33 (?) r1r2 n=1 此处n1=n2=n水=1.33，n=1，代入上式求得
?1.33f??44.8cm1?1.331.33?1?20cm?25cmC2 C1 25cm 20cm
f'=－f=－44.8cm。其意义是在水中是发散透镜。
18．会聚透镜和发散透镜的焦距都10cm，求：（1）与主轴成30°的一束平行光入射到每个透镜上，像点在何处？（2）在每个透镜左方的焦平面上离主轴1cm处各置一发光点，成像在何处？作出光路图。
提示：薄透镜成像时，通过光心的光线的方向不变，倾斜平行光束的焦点或轴外点的像点都在过光心的光线上。
19．题3.19图（a）、(b)所示的MM'分别为一薄透镜的主光轴，S为光源，S'为像。用作图法求透镜中心和透镜焦点的位置。
作图如下： S S F’ M M S’ N
O O F F F’
S’
（a） （b）
*20．比累对切透镜是把一块凸透镜沿直径方向剖开成两半组成，两半块透镜垂直光轴拉开一点距离，用挡光的光阑K挡住其间的空隙（见题3.20图），这时可在屏上观察到干涉条纹。已知点光源P与透镜相距300cm，透镜的焦距f’=50cm，两半透镜拉开的距离t=1mm，光屏与透镜相距l=450cm。用波长为632.8nm的氦氖激光作为光源，求干涉条纹的间距。
提示：两半透镜可当成两个光心不在同一位置的完整透镜，各自对点光源成像，两个像点光源相当于杨氏干涉中相干光源，只要通过几何成像计算出它们的间距，即可利用杨氏干涉条纹间距公式求得干涉条纹间距。
*21．把焦距为10cm的会聚透镜的中央部分C切去，C的宽度为1cm，把余下的两部分粘起来（题3.21图）。如在其对称轴上距透镜5cm处置一点光源，试求像的位置。
提示：两半透镜可当成两个光心不在同一位置的完整透镜，各自对点光源成像。
*22．一折射率为1.5的薄透镜，其凸面的曲率半径为5cm，凹面的曲率半径为15cm，且镀上银（见题3.22图）。试证明：当光从凸表面入射时，该透镜
N
的作用相当于一个平面镜。
提示：物经过凸面折射、凹面反射和凸面再次折射后，s'=－s,β=1
*23．题3.23图所示的是一个等边直角棱镜和两个透镜所组成的光学系统，棱镜折射率为1.5，凸透镜的焦距为20cm，凹透镜的焦距为10cm,两透镜间距为5cm，凸透镜距棱镜边的距10cm。求图中长度为1cm的物体所成像的位置和大小。
提示：物经棱镜成像在透镜轴上，相当于经过一块厚6cm的平板玻璃，可利用例3.1结果求棱镜所成像的位置。
24．显微镜由焦距为1cm的物镜和焦距为3cm的目镜组成，物镜与目镜之间的距离为20cm，问物体放在何处时才能使最后的像成在距离眼睛25cm处？作出光路图。
提示：显微镜物镜成实像，目镜对实像再成虚像。可由虚像的像距求得实像位置，再由实像位置求得物体位置。
25．题3.25图中L为薄透镜，水平横线MM'为主轴。ABC为已知的一条穿过这个透镜的光线的路径，用作图法求任一条光线DE穿过透镜后的路径。 作图如下： DE光线副轴 B A AB光线副轴 C N M F’
E D 焦平面
*26．题3.26图中MM'是一厚透镜的主轴，H、H'是透镜的主平面，S1是点光源，S1'是点光源的像。试用作图法求任意一物点S2的像S2'的位置。
作图如下： H H’ S1
S2’
N M
S1’
S2
27．双凸薄透镜的折射率为1.5，│r1│=10cm，│r2│=15cm，r2的一面镀银，物点P在透镜前主轴上20cm处，求最后像的位置并作出光路图。
提示：薄透镜先折射成像，像再经球面反射成像，最后薄透镜反方向再次折射成像。
28．实物与光屏间的距离为l，在中间某一位置放一个凸透镜，可使实物的像清淅地投于屏上。将透镜移过距离d之后，屏上又出现一个清淅的像。（1）试计算两个像的大小之比；（2）证明透镜的焦距为（l2－d2）/4l；（3）证明l不能小于透镜焦距的4倍。
解：设凸透镜像方焦距为f’(>0)。 第一次成像，有 111??(1) s1's1f'
第二次成像，有 111??(2) s2's2f'
依题意，有
(3) s2?s1?d
s2'?s1'?d(4)
?s1?s1'?l(5)
由式(1)~(5)联立消去f’，s2，s2’，后可得
d?l?s? ?12? d?l?s'?1 2?
代入式(3)(4)得
d?l ?s???2 2?l?d ?s2'?2?
而