教 学 内 容 个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得的部分向量组都线性相关. 一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身. 极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价. 例4 看P3的向量组 小结 ?1?(1,0,0),?2?(0,1,0),?3?(1,1,0) 在这里｛?1,?2｝线性无关，而?3??1??2，所以｛?1,?2｝是一个极大线性无关组.另一方面，｛?1,?3｝，｛?2,?3｝也都是向量组｛?1,?2,?3｝的极大线性无关组. 由上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组不是唯一的.但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价，因而，一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的. 定理3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量. 定理3表明，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质.因此有 定义14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同. 每一向量组都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价.所以，等价的向量组必有相同的秩. 含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个线性无关的部分向量都能扩充成一极大线性无关组.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组.规定这样的向量组的秩为零. 现在把上面的概念与方程组的解的关系进行联系，给定一个方程组 二、课时教学内容
46
第 页
教 学 内 容 ?a11x1?a12x2???a1nxn?d1,?ax?ax???ax?d,?2112222nn2??????????as1x1?as2x2???asnxn?ds,各个方程所对应的向量分别是(A1)(A2)(As)小结 ?1?(a11,a12,?,a1n,d1),?2?(a21,a22,?,a2n,d2),?, ?s?(as1,as2,?,asn,ds).设有另一个方程 b1x1?b2x2???bnxn?d,(B) 它对应的向量为??(b1,b2,?,bn,d).则?是?1,?2,?,?s的线性组合，??l1?1?l2?2???ls?s当且仅当(B)?l1(A1)?l2(A2)???ls(As)，即方程(B)是方程(A1),(A2),?,(As) 的线性组合.容易验证，方程组(A1),(A2),?,(As)的解一定满足(B).进一步设方程组 ?b11x1?b12x2???b1nxn?c1,?bx?bx???bx?c,?2112222nn2??????????br1x1?br2x2???brnxn?cr,(B1)(B2)(Br) 它的方程所对应的向量为?1,?2,?,?r.若?1,?2,?,?r可经?1,?2,?,?s线性表出，则方程组(A1),(A2),?,(As)的解是方程组(B1),(B2),?,(Br)的解.再进一步，当?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?r等价时，两个方程组同解. 例5 （1）设?1,?2,?3线性无关，证明?1,?1??2,?1??2??3也线性无关；对n个线性无关向量组?1,?2,?,?n，以上命题是否成立？ （2）当?1,?2,?3线性无关，证明?1??2,?2??3,?3??1也线性无关，当?1,?2,?,?n线性无关时，?1??2,?2??3,?,?n?1??n,?n??1是否也线性无关？. 二、课时教学内容
47
第 页
教 学 内 容 例6 设在向量组?1,?2,?,?n中，?1??0且每个?i都不能表成它的前i?1个向量?1,?2,?,?i?1的线性组合，证明?1,?2,?,?n线性无关. 小结 一、章（节、目）授课计划
48
第 页
授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与手段 §4矩阵的秩 授课 时数 通过本节的学习，使学生会求矩阵的秩、能理解有关矩阵秩的相关理论。 要求学生会求矩阵的秩、能理解有关矩阵秩的相关理论。 矩阵的秩、矩阵秩的求法 矩阵秩的求法 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 教 学 后 记 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 二、课时教学内容
49
第 页
教 学 内 容 一、矩阵的秩 如果把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些向量组成的.同样，如果把每一列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的. 定义15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 例如，矩阵 小结 ?1??0A??0??0?的行向量组是 132?100001??4? 5??0???1?(1,1,3,1),?2?(0,2,?1,4),?3?(0,0,0,5),?4?(0,0,0,0) 它的秩是3.它的列向量组是 ?1?(1,0,0,0)?,?2?(1,2,0,0)?,?3?(3,?1,0,0)?,?4?(1,4,5,0)? 它的秩也是3. 矩阵A的行秩等于列秩，这点不是偶然的. 引理 如果齐次线性方程组 ?a11x1?a12x2???a1nxn?0,?ax?ax???ax?0,?2112222nn （1） ????????????as1x1?as2x2???asnxn?0的系数矩阵 ???A?????a11a21?as1a12?a1n??a22?a2n?? ???as2?asn??的行秩r?n，那么它有非零解. 定理4 矩阵的行秩与列秩相等. 二、课时教学内容
50
第 页