授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与手段 §3线性相关性 授课 时数 通过本节的学习，使学生能熟练掌握线性相关性的判定、极大线性无关组及向量组的秩。 通过本节的学习，要求学生能熟练掌握线性相关性的判定、极大线性无关组及向量组的秩。 线性组合、向量组等价、线性相关(无关)等一些基本概念、线性相关性的判定、极大线性无关组及向量组的秩。 求极大线性无关组及向量组的秩、论证向量组的等价。 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 教 学 后 记 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 二、课时教学内容
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教 学 内 容 一般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外，都含有无穷多个向量，这些向量之间有怎样的关系，对于弄清向量空间的结构至关重要。 一、线性相关与线性无关 两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量?与?成比例就是说有一数k使 小结 ??k?. 定义9 向量?称为向量组?1,?2,?,?s的一个线性组合，如果有数域P中的数k1,k2,?,ks，使 ??k1?1?k2?2???ks?s, 其中k1,k2,?,ks叫做这个线性组合的系数. 例如，任一个n维向量??(a1,a2,?,an)都是向量组 ??1?(1,0,?,0),???(0,1,?,0),?2 ? （1） ??????????n?(0,0,?,1)的一个线性组合. 向量?1,?2,?,?n称为n维单位向量. 零向量是任意向量组的线性组合. 当向量?是向量组?1,?2,?,?s的一个线性组合时，也说?可以经向量组?1,?2,?,?s线性表出. 定义10 如果向量组?1,?2,?,?t中每一个向量?i(i?1,2,?,t)都可以经向量组?1,?2,?,?s线性表出，那么向量组?1,?2,?,?t就称为可以经向量组?1,?2,?,?s线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价. 二、课时教学内容
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教 学 内 容 由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组?1,?2,?,?t可以经向量组?1,?2,?,?s线性表出，向量组那么向量组?1,?2,?,?t?1,?2,?,?s可以经向量组?1,?2,?,?p线性表出，可以经向量组线性表出. 向量组之间等价具有以下性质： 1）反身性：每一个向量组都与它自身等价. 2）对称性：如果向量组?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?t等价，那么向量组?1,?2,?,?t与?1,?2,?,?s等价. 3）传递性：如果向量组?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?t等价，?1,?2,?,?t与?1,?2,?,?p等价，那么向量组?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?p等价. 定义11 如果向量组?1,?2,?,?s(s?2)中有一个向量是可以由其余的向量的线性表出，那么向量组?1,?2,?,?s线性相关. 从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组?1,?2线性相关就表示?1?k?2或者?2?k?1(这两个式子不一定能同时成立).在P为实数域，并且是三维时，就表示向量?1与?2共线.三个向量?1,?2,?3线性相关的几何意义就是它们共面. 定义11′向量组?1,?2,?,?s(s?1)称为线性相关的，如果有数域P中不全为零的数k1,k2,?,ks，使 小结 k1?1?k2?2???ks?s?0 这两个定义在s?2的时候是一致的. 定义12 一向量组?1,?2,?,?s(s?1)不线性相关，即没有不全为零的数k1,k2,?,ks，使k1?1?k2?2???ks?s?0就称为线性无关； 二、课时教学内容
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教 学 内 容 或者说，一向量组?1,?2,?,?s称为线性无关，如果由 小结 k1?1?k2?2???ks?s?0 可以推出 k1?k2???ks?0 由定义有，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.换句话说，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定不能包含两个成比例的向量. 定义11′包含了由一个向量组构成的向量组的情形. 单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关. 不难看出，由n维单位向量?1,?2,?,?n组成的向量组是线性无关的. 具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.要判断一个向量组 ?i?(ai1,ai2,?,ain)i?1,2,?,s (2) 是否线性相关，根据定义11，就是看方程 x1?1?x2?2???xs?s?0 (3) 有无非零解.(3)式按分量写出来就是 ?a11x1?a21x2???as1xs?0,?ax?ax???ax?0,?121222s2s (4) ??????????a1nx1?a2nx2???asnxs?0.因之，向量组?1,?2,?,?s线性无关的充要条件是齐次线性方程组(4)只有零解. 例1 判断P3的向量?1?(1,?2,3),?2?(2,1,0),?3?(1,?7,9) 是否线性相关。 二、课时教学内容
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教 学 内 容 例2 在向量空间P[x]里，对于任意非负整数n 小结 1,x,x2,?,xn线性无关. 例 3 若向量组?1,?2,?3线性无关，则向量组2?1??2,?2?5?3,4?3?3?1也线性无关. 从而，如果向量组(2)线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的n?1维的向量组 ?i?(ai1,ai2,?,ain,ai,n?1),i?1,2,?,s (5) 也线性无关. 定理2 设?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?s是两个向量组.如果 1）向量组?1,?2,?,?r可以经?1,?2,?,?s线性表出， 2） r?s， 那么向量组?1,?2,?,?r必线性相关. 推论1 如果向量组?1,?2,?,?r可以经向量组?1,?2,?,?s线性表出，且?1,?2,?,?r线性无关，那么r?s. 推论2 任意n?1个n维向量必线性相关. 推论3 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量. 定理2的几何意义是清楚的：在三维向量的情形，如果s?2，那么可以由向量?1,?2线性表出的向量当然都在?1,?2所在的平面上，因而这些向量是共面的，也就是说，当r?2时，这些向量线性相关.两个向量组?1,?2与?1,?2等价，就意味着它们在同一平面上. 二、极大线性无关组 定义13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这 二、课时教学内容
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