教 学 内 容 小结 ?d,当k?i, (6) ak1Ai1?ak2Ai2???aknAin???0,当k?i.?d,当l?j, (7) a1lA1j?a2lA2j???anlAnj???0,当l?j.用连加号简写为 n?s?1?d,当k?i, aksAis???0,当k?i;?s?1n?d,当l?j, aslAsj???0,当l?j.在计算数字行列式时，直接应用展开式(6)或(7)不一定能简化计算，因为把一个n级行列式的计算换成n个(n?1)级行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用公式(6)或(7)才有意义.但这两个公式在理论上是重要的. 例1 计算行列式 5137?123325145020 000?2020?4?1例2 行列式 1a1d?a12?a1n?11a22a21?a3?2a31an2 (8) an??n?1a2??n?1n?1a3?an称为n级的范德蒙德(Vandermonde)行列式.证明对任意的n(n?2)，n级范德蒙德行列式等于a1,a2,?,an这n个数的所有可能的差ai?aj(1?j?i?n)的乘积. 用连乘号，这个结果可以简写为. 二、课时教学内容
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教 学 内 容 小结 1a1a12?a1n?11a22a21?a3?2a31an2an???n?1a2??1?j?i?n?(ai?aj). n?1n?1a3?an由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充要条件是a1,a2,?,an这n个数中至少有两个相等. 例3 证明 a11??ak1?c11??cr1?a1k?akkc1k?crk0?0??0?0b11?b1r??br1?brra11?a1k???ak1?akkb11?b1r?br1??brr. 一、章（节、目）授课计划
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授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与手段 §7 Cramer法则 授课 时数 通过本节的学习，使学生会运用Gramer法则求线性方程组的解 通过本节的学习，要求学生会运用Gramer法则求线性方程组的解 Gramer法则的应用 Gramer法则的应用 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 教 学 后 记 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 二、课时教学内容
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教 学 内 容 现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形. 定理4 如果线性方程组 ?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2 (1) ??????????????an1x1?an2x2???annxn?bn小结 的系数矩阵 ?a11??a21A?????a?n1a12a22?an2?a1n???a2n? (2) ????ann??d?|A|?0 的行列式 那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为 x1?dd1d,x2?2,?,xn?n, (3) ddd其中dj是把矩阵A中第j列换成常数项b1,b2,?,bn所成的矩阵的行列式，即 a11dj?a21?an1???a1,j?1?b1?a1,j?1a2,j?1???a1na2n?ann,j?1,2,?,n. (4) a2,j?1b2an,j?1bnan,j?1?定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是： 1. 把(dd1d2,,?,n)代入方程组，验证它确是解. ddd2. 假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出. 定理4通常称为克拉默法则. 二、课时教学内容
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教 学 内 容 例1 解方程组 ?2x1?x2?5x3?x?3x?12?2x2?x3???x1?4x2?7x3?x4?8,?6x4?9,?2x4??5,?6x4?0.小结 应该注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论. 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的，因为(0,0,?,0)就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有 定理5 如果齐次线性方程组 ?a11x1?a12x2???a1nxn?0,?ax?ax???ax?0,?2112222nn??????????????an1x1?an2x2???annxn?0 (10) 的系数矩阵的行列式|A|?0，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么必有|A|?0. 例2 求?在什么条件下，方程组 ??x1?x2?0, ?x??x?02?1有非零解. 克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个n个未知量n个方程的线性方程组就要计算n?1个n级行列式，这个计算量是很大的. 一、章（节、目）授课计划
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