教 学 内 容 一、排列的定义 定义1 由1,2,?,n组成的一个有序数组称为一个n级排列. 小结 n级排列的总数是n!. 显然12?n也是一个n级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的；其它的排列或多或少地破坏自然顺序. 定义2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 排列j1j2?jn的逆序数记为 ?(j1j2?jn) 例：排列53214的逆序数7 定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。 应该指出，我们同样可以考虑由任意n个不同的自然数所组成的排列，一般也称为n级排列。对这样一般的n级排列，同样可以定义上面这些概念。 二、排列的奇偶性 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这样一个变换称为一个对换。显然，如果连续施行再次相同的对换，那么排列就还原了。由此得知，一个对换把全部n级排列两两配对，使每两个配成对的n级排列在这个对换下互变。 定理1 对换改变排列的奇偶性. 这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列. 推论 在全部n级排列排列中，奇、偶排列的个数相等，各有n!/2个. 定理2 任意一个n级排列与排列12?n都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性. 结论：任意两个排列都可以经过一系列对换互变. 一、章（节、目）授课计划
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授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与手段 §3 n级行列式 授课 时数 使学生掌握行列式的定义 要求学生真正的理解行列式的定义以及行与列地位的对称 一般行列式的定义、行与列的地位是对称的 行列式的定义 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 教 学 后 记 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 二、课时教学内容
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教 学 内 容 一、n级行列式的概念 在给出n级行列式的定义之前，先来看一下二级和三级行列式的定义。我们有 小结 a11a21a11a21a31a12a22a12a22a32?a11a22?a12a21 (1) a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31(2) a33从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成 a1j1a2j2a3j3 (3) 其中j1j2j3是1，2，3的一个排列.可以看出，当j1j2j3是偶排列时.对应的项在(2)中带有正号，当j1j2j3是奇排列时带有负号. 定义4 n级行列式 a11a21?an1a12?a1na22?a2n (4) ??an2?ann等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 a1j1a2j2?anjn (5) 的代数和，这里j1j2?jn是1,2,?,n的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符号；当j1j2?jn是偶排列时，(5)带有正号，当j1j2?jn是奇排列时，(5)带有负号.这一定义可写成 二、课时教学内容
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教 学 内 容 a11a21?an1a12a22??a1n?a2n??j1j2?jn小结 ?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn (6) an2?ann这里j1j2?jn?表示对所有n级排列求和. 定义表明，为了计算n级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号. 由定义看出，n级行列式是由n!项组成的. 例1 计算行列式 0004例2 计算上三角形行列式 a110?0a110?0a12a22?0a12a22?00030020010. 00?a1n?a2n. (7) ??ann?a1n?a2n?a11a22?ann. (8) ??ann这个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积.特别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积. 容易看出，当行列式的元素全是数域中的数时，它的值也是数域中的一个数. 二、课时教学内容
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教 学 内 容 二、行列式的性质 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，把元素按行指标排起来.事实上，数的乘法是交换的，因而这些元素的次序是可以任意写的，一般地，n级行列式中的项可以写成 ai1j1ai2j2?ainjn, （11） 其中i1i2?in,j1j2?jn是两个n级排列.利用排列的性质，不难证明，(11)的符号等于 小结 (?1)?(i1i2?in)??(j1j2?jn) (12) 按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义又可以写成 a11a21?an1a12a22??a1n?a2n??(?1)?(i1i2?in)ai11ai22?ainn. (15) ?i1i2?inan2?ann由此即得行列式的下列性质： 性质1 行列互换，行列式不变.即 a11a21?an1a12a22??a1na11a21a22?a2n?an1?an2. (16) ??ann?a2na?12??a1nan2?ann性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立. 例如由(8)即得下三角形的行列式 a11a21?an10a22???00?a11a22?ann ?an2?ann一、章（节、目）授课计划
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