教 学 内 容 一、线性方程组的初等变换 现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为 ?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2 (1) ????????????as1x1?as2x2???asnxn?bs小结 的方程组，其中x1,x2,?,xn代表n个未知量，s是方程的个数，aij(i?1,2,?,s;j?1,2,?,n)称为线性方程组的系数，bj(j?1,2,?,s)称为常数项.方程组中未知量的个数n与方程的个数s不一定相等.系数aij的第一个指标i表示它在第i个方程，第二个指标j表示它是xj的系数. 所谓方程组(1)的一个解就是指由n个数k1,k2,?,kn组成的有序数组(k1,k2,?,kn)，当x1,x2,?,xn分别用k1,k2,?,kn代入后，(1)中每个等式都变成恒等式. 方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的. 显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵 ?a11a12?a1nb1????a21a22?a2nb2? (2) ?????????a??s1as2?asnbs?来表示.实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性. 下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组. 例如，解方程组 二、课时教学内容
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教 学 内 容 ?2x1?x2?3x3?1,??4x1?2x2?5x3?4, ?2x?x?2x?5.23?1小结 第二个方程组减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成 ?2x1?x2?3x3?1,?4x2?x3?2, ??2x2?x3?4.?第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得 ?2x1?x2?3x3?1,?2x2?x3?4, ??x3??6.?这样，就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）. 分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成： 1. 用一非零数乘某一方程； 2. 把一个方程的倍数加到另一个方程； 3. 互换两个方程的位置. 定义1 变换1，2，3称为线性方程组的初等变换. 二、线性方程组的解的情形 消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组. 下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组. 对于方程组(1)，首先检查x1的系数.如果x1的系数a11,a21,?,as1全为零，那么方程组(1)对x1没有任何限制，x1就可以取任何值，而方程组(1)可以看作x2,?,xn的方程组来解.如果x1的系数不全为零，那么利用初等 二、课时教学内容
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教 学 内 容 小结 a变换3，可以设a11?0.利用初等变换2，分别把第一个方程的?i1倍加a11到第i个方程(i?2,?,n).于是方程组(1)就变成 ?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,??x2???a2?nxn?b2?,a22? (3) ?????????????a?s2x2???asnxn?bs,? 其中 ??aij?aijai1?a1j,i?2,?,s,j?2,?,n a11?x2???a2?nxn?b2?,?a22? (4) ??????????a?x???a?x?b?snnn?s22这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组 的问题.显然(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出x1的值，这就得出(3)的一个解；(3)的解显然都是(4)的解.这就是说，方程组(3)有解的充要条件为方程组(4)有解，而(3)与(1)是同解的，因之，方程组(1)有解的充要条件为方程组(4)有解. 对(4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为 ?c11x1?c12x2???c1rxr???c1nxn?d1,?c22x2???c2rxr???c2nxn?d2,?????????crrxr???crnxn?dr,? (5) ?0?d,r?1??0?0,?????0?0.? 二、课时教学内容
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教 学 内 容 其中cii?0,i?1,2,?,r.方程组(5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响(5)的解.而且(1)与(5)是同解的. 现在考虑(5)的解的情况. 如(5)中有方程0?dr?1，而dr?1?0.这时不管x1,x2,?,xn取什么值都不能使它成为等式.故(5)无解，因而(1)无解. 当dr?1是零或(5)中根本没有“0=0”的方程时，分两种情况： 1）r?n.这时阶梯形方程组为 ?c11x1?c12x2???c1nxn?d1,?c22x2???c2nxn?d2,?(6) ?????????cnnxn?dn,?小结 其中cii?0,i?1,2,?,n.由最后一个方程开始，xn,xn?1,?,x1的值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组(6)也就是方程组(1)有唯一的解. 例1 解线性方程组 ?2x1?x2?3x3?1,??4x1?2x2?5x3?4, ?2x?x?2x?5.23?12）r?n.这时阶梯形方程组为 ?c11x1?c12x2???c1rxr?c1,r?1xr?1???c1nxn?d1,?c22x2???c2rxr?c2,r?1xr?1???c2nxn?d2,? ?????????crrxr?cr,r?1xr?1???crnxn?dr,?其中cii?0,i?1,2,?,r.把它改写成 ?c11x1?c12x2???c1rxr?d1?c1,r?1xr?1???c1nxn,?c22x2???c2rxr?d2?c2,r?1xr?1???c2nxn,? (7) ?????????crrxr?dr?cr,r?1xr?1???crnxn.?二、课时教学内容
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教 学 内 容 由此可见，任给xr?1,?,xn一组值，就唯一地定出x1,x2,?,xr的值，也就是定出方程组(7)的一个解.一般地，由(7)我们可以把x1,x2,?,xr通过小结 xr?1,?,xn表示出来，这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，而xr?1,?,xn称为一组自由未知量. 例2 解线性方程组 ?2x1?x2?3x3?1,??4x1?2x2?5x3?4, ?2x?x?4x??1.23?1从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子，但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成(5)的样子. 以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出现的话)去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解. 定理1 在齐次线性方程组 ?a11x1?a12x2???a1nxn?0,?ax?ax???ax?0,?2112222nn ????????????as1x1?as2x2???asnxn?0中，如果s?n，那么它必有非零解. 矩阵 ??????? a11a21?as1a12?a1na22?a2n??as2?asnb1??b2? (10) ???bs??二、课时教学内容
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