教 学 内 容 定义6 所谓数域P上矩阵的初等行变换是指下列三种变换： 1）以P中一个非零的数乘矩阵的某一行； 2）把矩阵的某一行的c倍加到另一行，这里c是P中任意一个数； 3) 互换矩阵中两行的位置. 一般说来，一个矩阵经过初等行变换后，就变成了另一个矩阵.当矩阵A经过初等行变换变成矩阵B时，我们写成 A?B 小结 若一个矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零，则称这样的矩阵为阶梯形矩阵. 可以证明，任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵. 现在回过来讨论行列式的计算问题.一个n级行列式可看成是由一个n级方阵A决定的，对于矩阵可以作初等行变换，而行列式的性质2，6，7正是说明了方阵的初等行变换对于行列式的值的影响.每个方阵A总可以经过一系列的初等行变换变成阶梯形方阵J.由行列式性质2，6，7，对方阵每作一次初等行变换，相应地，行列式或者不变，或者差一非零的倍数，也就是 |A|?k|J|,k?0 显然，阶梯形方阵的行列式都是上三角形的，因此是容易计算的. 例 计算 ?25?131?9137 3?15?528?7?10不难算出，用这个方法计算一个n级的数字行列式只需要做n3?2n?3次乘法和除法.特别当n比较大的时候，这个方法的优越性就 3 二、课时教学内容
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教 学 内 容 更加明显了.同时还应该看到，这个方法完全是机械的，因而可以用电子计算机按这个方法来进行行列式的计算. 对于矩阵同样可以定义初等列变换，即 1）以P中一个非零的数乘矩阵的某一列； 2）把矩阵的某一列的c倍加到另一列，这里c是P中任意一个数； 3) 互换矩阵中两列的位置. 为了计算行列式，也可以对矩阵进行初等列变换.有时候，同时用初等行变换和列变换，行列式的计算可以更简单些. 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换. 小结 一、章（节、目）授课计划
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授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与手段 §6行列式按一行(列)展开 授课 时数 通过本节的学习,可以以使行列式的计算更简化 要求学生会应用行列式展开性质来计算行列式 行列式按一行展开的性质、展开性质的应用 展开性质的应用 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 教 学 后 记 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 二、课时教学内容
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教 学 内 容 在§4看到，对于n级行列式，有 a11?ai1?an1a12?ai2??a1n??ain?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin,i?1,2,?,n. (1) ?小结 an2?ann现在来研究这些Aij,i,j?1,2,?,n究竟是什么. 三级行列式可以通过二级行列式表示： a11a21a31a12a22a32a13a23?a11a32a33a22a23a33?a12a21a31a23a33?a13a21a31a22a33. (2) 定义7 在行列式 a11??ai1??an1?a1j?aij??a1n?ain ?ann?anj?中划去元素aij所在的第i行与第j列，剩下的(n?1)2个元素按原来的排法构成一个n?1级行列式 a11?ai?1,1ai?1,1?an1??a1,j?1?ai?1,j?1??an,j?1?ai?1,j?1a1,j?1?ai?1,j?1ai?1,j?1?an,j?1????a1n?ai?1,nai?1,n?ann (3) 称为元素aij的余子式，记作Mij 下面证明 Aij?(?1)i?jMij. (4) 为此先证明n级行列式与n?1级行列式的下面这个关系， 二、课时教学内容
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教 学 内 容 小结 a11a21?an?1,10a12a22?an?1,20????a1,n?1a2,n?1?an?1,n?10a1na2n?an?1,n1?a11a21?an?1,1a12a22???a1,n?1a2,n?1?. (5) an?1,2?an?1,n?1 其次,在(1)中令ai1?ai2???aij?1?aij?1???ain?0,aij?1,即可得证 定义8 上面所谈到的Aij称为元素aij的代数余子式. 这样，公式(1)就是说，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.在(1)中，如果令第i行的元素等于另外一行，譬如说，第k行的元素，也就是 aij?akj,j?1,2,?,n,k?i. 于是 a11??a1n?akn?akn?ann ak1?ak1Ai1?ak2Ai2???aknAin??ak1??an1?右端的行列式含有两个相同的行，应该为零，这就是说，在行列式中，一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零. 定理3 设 a11d?a21?an1a12a22?an2?a1n?a2n??ann Aij表示元素aij的代数余子式，则下列公式成立： 二、课时教学内容
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