（1）结合律：；
（2）交换律: ；
（3）存在零线性映射，对，有；
（4）对，有负线性映射，使得；
（5）；（6）；（7）；
（8）。其中，
所以关于定义7.1.12中所定义的线性映射的加法与数量乘法构成上的一个线性空间。
习题7.1.14证明：。
证明：设为
维线性空间，为
维线性空间，即
，。取定的一组基和的一组基。令为到的如下映射：，其中为在基
与基下的矩阵。这样定义的是到的同构映射。
事实上，（1）若，，且，
则有
，。由于，对每一个都有，故有，即是单射。
（2），令
。
则存在唯一的线性映射使得，并且