高等代数和解析几何第七章(1~3习题集)线性变换和相似矩阵答案解(7)

。

习题7.1.11

设

与

分别是数域上的维与

维线性空间，是

的一个有序基，对于中任意个向量，证明存在唯一的线性映射，使，。

证明：先证明存在性。对任意的，

有唯一的线性表达式

我们定义

显然有

，。

现验证为到的一个线性映射。

（1

）对任意的向量，因为

，由定义得

。

（2）对任意的，因为，由定义得

。所以为到的一个线性映射。

再证唯一性：若另有到的一个线性映射，也使得

，。

则对任意向量，一定有