高等代数和解析几何第七章(1~3习题集)线性变换和相似矩阵答案解(8)

。由在中的任意性，可得。

习题7.1.12

设

与

分别是数域上的维与

维线性空间，是线性映射。证明是的子空间，是的子空间。又若有限，证明。这时称为的零度，称为的秩。

证明：（1）先证与分别为与的子空间，

对，，有，

所以，故为的子空间；同理，对，

，则，使，，所以

所以为的子空间.

（2）再证

因有限，不妨设，，在中取一个基

，再把它扩充为的一个基，则

是像空间的一个基.

事实上，对，存在，使得。

设，则有

即中的任意向量都可由线性表示。