高等代数和解析几何第七章(1~3习题集)线性变换和相似矩阵答案解(6)

理有，而是单射，有，已知线性无关，所以，故

也线性无关。

已知把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。

若

，则有，并一定有。否则若，则说明向量线性无关，而表示把线性无关的向量组变为线性相关的向量组，与条件矛盾。而由可得，即是单射线性变换。

习题7.1.9设是

中全体可逆线性变换所成的子集，证明

关于线性变换的乘法构成一个群。（超范围略）

习题7.1.10设，是上的线性变换，且证明（1）若，则；

（2）若，则。

证明：（1）因为，。所以

，从而或。又因为

。

故。

（2）因为，，所以