偏微分方程反问题的数值解法教案
的不存在性或者不唯一性。
2）反问题的解对于输入数据往往不具有连续依赖性，由于输入数据中不可避免的测量误差，就需要提出由扰动数据求反问题在一定意义下近似解的稳定的方法。
例1.8 Laplace方程的初值问题（Hadamard）
2u(x,y) 2u(x,y)
Δu(x,y)= x2+ y2=0,(x,y)∈R×[0,∞) u(x,y)y=0=f(x)=0,x∈R
u(x,y)1 =g(x)=sinnx,x∈R
yy=0n
该方程唯一解是
u(x,y)=
1
sinnxsinh(ny),n2
x∈R
x∈R,y≥0 1
→0,n→∞ n
x∈R
虽然有：sup
{f(x)+g(x)}=
但是对一切的y>0，当n→∞时，supu(x,y)=
{}
1
sinh(ny)→∞,n→∞ n2
说明当观测数据精度提高时，解的误差反而增加。
例1.9 函数求导问题
考察两个函数u1(x)和u2(x)=u1(x)+Nsinωx的求导问题，
ρ(u1(x),u2(x))=sup{u1(x) u2(x)}=N
x∈[a,b]
ρu1′(x),u2′(x)=supu1′(x) u2′(x)=Nω
x∈[a,b]
()
{当ω充分大的时候，ρu1′(x),u2′(x)可以任意大。
()
{
ρ(u′(x),u′(x))=sup{u′(x) u′(x)}
x∈[a,b]
如果度量取ρ(u1(x),u2(x))=supu1(x) u2(x)+u1′(x) u2′(x)，
1
2
1
2
，则该问题就是稳定的。但是这种度量无法验证。
x∈[a,b]
例1.10 第一类积分方程的数值解
et+1 1
∫0ex(s)ds=y(t)=t+1,0≤t≤1
1ts
该方程精确解为x(t)=e。 进行数值求解时，取步长h=
t
1
，用复合梯形公式 n